ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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176: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 18:20:49.07 ID:zxKJrX2I

追加
”上空移行の原理" 岡潔先生の数学--原論文の紹介

https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/
公　表　論　文　　　　
岡潔先生の数学--原論文の紹介 （ PDF　TeX ）
I.Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles
　Journal of Science of the Hiroshima University 6 (1936), p.245-255 ダウンロード用　PDF　TeX
有理函数に関する凸状域（日本語訳） 　PDF　TeX
解　題 　PDF　TeX
内容： 上空移行により、有理函数による多面体における問題を筒状域における問題に帰着させる原理を確立し、それによって有理函数に関する凸状域におけるクーザン第１問題と展開の問題を解決している。

https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/pdf/kai-1.pdf
解 題
1. この第 I 論文は ”岡先生の数学" における第１主題の提示部である.
序文をもう一度読み直してみよう. 先ず当時の多変数函数論の分野に残さ
れている主要な問題として
1. Runge の定理や Cousin の定理が成り立つ領域のタイプ.
2. Hartogs の凸性と Cartan{Thullen の凸性の関係.
が挙げられており,『この論文およびこれに続く論文で予定されているのはこ
れらの問題の研究である』と書かれている.1
このように書かれてはいるが, 岡先生は, これらの問題を並列に存在する問
題群と考えておられるのではなく, したがってこれらの問題を解けるものか
ら順次解いていこうとしておられるのではない. Cousin の問題を解くことだ
けなら, 本文の脚注にもある様に Weil の積分表示を Cousin 型に使うだけで
解決する.2

上記の問題群は, その難しさが，取り扱う領域の形に大きく依存する. 例え
ばその領域が各座標平面の領域の直積領域，すなわち筒状域ならば, 問題は
ほとんど 1 変数函数論の問題に帰着する. 実際 P. Cousin はそのようにして
筒状域における Cousin 問題を解いたのである. しかし一般な領域の場合は
そうではない. それで岡先生は, 最初から, 一般な領域でこれらの問題を統一
的に解決するような原理を得ようとしておられるのである．
続いて序文には『考えている空間の次元を適当に上げることによって，こ
れらの問題の困難さがときとして緩和されるのではないか』という考えが浮
かんだと書かれている. これがその求めている原理であった. この漠然とし
たアイデアを, 岡先生と共に, \上空移行の原理" と呼ぶことにしよう. この
アイデアを特別な場合に実現することで, \有理函数に関する凸状域" を筒状
域に帰着させ, そうすることによって, この種の領域においても Runge の定
理と Cousin の定理が共に成立することを示したのがこの論文の内容である.
しかし, 重点は『このアイデアを特別な場合に実現すること』自体にあった.
それで序文の最後に『これは同時に, 我々にとって不可欠な補題の，もっと一
般な研究を提起するためのものでもある』と書かれている.

なお, この論文における ”上空移行の原理" の実現には Cousin 第 1 問題が
関与しており, 証明では, その二つの問題が, 二重帰納法によって同時に解決
されるという面白い構造になっている.
以下略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/176

422: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 11:56:15.07 ID:nLgILFYO

>>355
(引用開始)
閉区間[0,1]上の関数fを
xが有理数ならf(x)=xを既約分数で表したときの分母の逆数
xが無理数ならf(x)=0
で定義すると
fは無理数においては連続で
有理数においては不連続になる。
このfのRiemann可積分性をチェックしてみよう。
(引用終り)

さて、宿題をやろう
１）まず、ネタばらしだが、トマエ関数ね。これは、旧ガロアすれで何年も前に取り上げた（過去スレ発掘はしないが）
２）xが有理数p/qならf(x)=1/q pとqは互いに素
　と書き直しておきます
３）で 筋は
　a)>>348 西谷達雄,阪大より http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
　Lebesque積分
　P14
　定理1.5.1 f(x)がRiemann積分可能であるためにはf＿(x)=f￣(x),a.e.となることが必要十分である．
　P15
　定理1.5.2 (Lebesgue) f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
　証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件はf∼(x0)= f(x0)=f∼(x0)の成立することである．
　　(引用終り)
　で尽きている
　b)つまり、彼の 定理1.5.1の f＿(x)=f￣(x),a.e.と 定理1.5.2の f∼(x0)= f(x0)=f∼(x0) とは、殆ど同じことです（εδの視点では）
　c)常用の筋は、εδで、任意ε＝f∼(x0)-f∼(x0)（前が∼上、後が∼下） に対して、xの周りでδを十分小さく取れて連続性OK を立証すること等
　です
４）細かい話は、追々やるが、お急ぎの方は 下記のyoutube 蛍雪色 ― 数学ノート  2019/12/09 をごらんあれ（＾＾
　（これを文字起こしすれば、このスレの半分くらいになるかもね・・ｗ）
５）で荒筋の説明のために、x=0で f(0)＝0とします（本当はf(0)＝1ですが）
　そうすると、x=0の周囲(区間(-ε/2,ε/2))の有理数は 1/n で nが十分大きい場合になります。で｜f(x)｜<δが証明できます
６）さて、xが無理数のときの連続性の証明は？ これも、上記５）と同様なのですが、時間がないので 後ほど
　（証明は、en.wikipedia Thomae's function にあります。お急ぎならこちらを）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
Thomae's function

https://www.youtube.com/watch?v=OlKbhfREjic
【トマエ関数】有理数の点で不連続 ＆ 無理数の点で連続な関数【解析学−微分積分学｜Thomae's function】
蛍雪色 ― 数学ノート  2019/12/09
コメント
@user-pt9lj7qo2f
2 年前
病的な関数の説明がこんなに分かりやすいことある……？すごい……

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/422

744: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 17:12:56.07 ID:Wp42F/rf

>>741-743
>そして英語版wikiのこの文章
>Further, spherical harmonics are basis functions for irreducible representations of SO(3),
>the group of rotations in three dimensions, and thus play a central role in the group theoretic discussion of SO(3).
>Connection with representation theory
>…(以下省略)

ほう
なかなか頑張るね

１）”Connection with representation theory …(以下省略)”って
　都合悪い部分について ”(以下省略)”で逃げてないかい？ｗ
２）その部分を追及すると、
　Irreducible representation ”History
　Group representation theory was generalized by Richard Brauer from the 1940s”
　和文では
「歴史
　群の表現論は1940年代頃からリチャード・ブラウアー（英語版）により一般化され」
　とされていますよね
３）だから、歴史的には >>739 に示したように
　spherical harmonic 球面調和関数は、1782年ころから LaplaceやLegendreが研究していて
　古典的な部分としては、それを受けて 1924年 Courant and Hilbert Methods of Mathematical Physics が出て
　”That changed within two years, since the formulation of Schrödinger's equation made the Hilbert-Courant techniques of immediate relevance to the new wave mechanics.”
　となりました
　一方、Irreducible representation が発展した
　1940年代にリチャード・ブラウアー（英語版）により一般化され群の表現論が始まった
４）だから、1782年ころの LaplaceやLegendreが球面調和関数の研究
　1924年 Courant and Hilbert Methods of Mathematical Physics （Schrödinger's equation を解くのに使われた）
　は、1940年より前ですってことね

再度言いますが
いま問題にしている
量子力学（Schrödinger's equation）の球面調和関数による解法(1924年Courant and Hilbert Methods)は
1940年代のリチャード・ブラウアー（英語版）らの表現論とは直結していない
それでいいですか？
　
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics#Connection_with_representation_theory
Spherical_harmonics
Connection_with_representation_theory
The representation Hℓ is an irreducible representation of SO(3).[27]

https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_representation
Irreducible representation
History
Group representation theory was generalized by Richard Brauer from the 1940s to give modular representation theory, in which the matrix operators act on a vector space over a field
{\displaystyle K} of arbitrary characteristic, rather than a vector space over the field of real numbers or over the field of complex numbers. The structure analogous to an irreducible representation in the resulting theory is a simple module.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/744

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