ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3

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6: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 18:33:49.30 ID:joMjBMfa

さて、前スレが終わってしまったが
前スレからの続きに戻る
>>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/890

逆元-逆行列を調べると
”体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）”
とあります

また、環の零因子 ja.wikipediaによれば、
”環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。”
です
なお、体 K に成分を持つ正方行列では、
”正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である”
です

実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる  x≠ Ｏ が存在する」とき
もし、Aが逆行列A^-1 を持てば
左辺に A^-1を掛けて、A^-1・AX＝Ｅ・X＝X ここにＥは単位行列
右辺は、A^-1・Ｏ＝Ｏ
つまり、X＝Ｏとなる
背理法により、”Aは逆行列A^-1 を持たない”
つまり、体 K に成分を持つ正方行列で、零因子の条件から、直ちに”Aは逆行列 を持たない”が導かれるのです
これは、常識として覚えておくのが良いでしょうね

逆元を持たない非正則行列
　↓↑
零因子の行列
という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
逆元
厳密な定義
単位的マグマの場合
このとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、
両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/6

7: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 18:34:19.28 ID:joMjBMfa

>>6
つづき

逆行列・擬逆行列
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列
正則行列（英: regular matrix）、非特異行列（英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。
定義
n 次単位行列を En や E で表す。 環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、
AB=E=BA
を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという[1]。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。 これを A の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）と呼び、A?1 と表す[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
定義
環 R の元 a は、 ax=0 となる  x≠ 0 が存在するとき、すなわち
∃x∈R＼{0}:ax=0
を満たすときに
左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。
同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/7

10: １３２人目の素数さん [] 2023/04/06(木) 21:09:42.40 ID:m70U+rhw

>>9
これいいね
https://ocw.nagoya-u.jp/ 名大の授業Webサイト
https://ocw.nagoya-u.jp/courses/0611-%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0-%E2%85%A0-2016/
線形代数-Ⅰ-2016
https://ocw.nagoya-u.jp/files/611/linear2016.pdf
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。

*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったり
を標榜する所以である。

目次
略

https://ocw.nagoya-u.jp/files/611/linear2016_8.pdf
8 逆行列と基底

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/10

12: １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金) 08:18:17.95 ID:pxeXP1Xo

>>11
ありがとう

>>>行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
>これは院生の時に気になって自分で考えて納得した。
>授業で教わらなくてよかったと思った。

なるほど

だけど、時代が違うからなぁ
例えば、下記みたいなこと？（検索ですぐ出る）

あと、私みたいな凡才は
教わらないと一生知らないだろうしｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/400px-Determinant_parallelepiped.svg.png
この平行六面体の体積はベクトル r1, r2, r3 の成す 3 次正方行列の行列式の絶対値に一致する。

概要
実2次正方行列 X に対して（上の記号の下で）det X ? ad - bc を対応させると、det(XY) = (det?X)(det?Y) であることや、det X > 0 であるとき X の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det X < 0 であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。det の乗法性から X が可逆ならば det X は逆数を持つ数であることが従うが、反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det X = 0 となることがいえる。こうして、正方行列 X が正則であることと X の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。

同様にして一般の次数のN次正方行列 X に対し、X の定める線型変換が超立体(N次図形)の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を X の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一組である線型方程式系の根の公式が行列式を用いて表示される。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/12

21: １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土) 09:06:12.69 ID:bSMWtlup

これいいね
Matrix Right inverse implies left inverse and vice versa Garth Isaak
右逆から左を出す
どうやるのか、調べていたら、これがあった

https://www.lehigh.edu/~gi02/m242/08m242lrinv.pdf
Right inverse implies left inverse and vice versa Garth Isaak
Notes for Math 242, Linear Algebra, Lehigh University fall 2008

These notes review results related to showing that if a square matrix A has a right inverse
then it has a left inverse and vice versa. We begin by reviewing the result from the text
that for square matrices A we have that A is nonsingular if and only if Ax = b has a unique
solution for all b.

Nonsingular if and only if unique solutions

Left inverse if and only if right inverse

(参考)
https://www.lehigh.edu/~gi02/f08m242.html
Fall 2008 Math 242 at Lehigh University Garth Isaak

https://www.lehigh.edu/~gi02/m242/08m242syl.pdf
Course Syllabus Garth Isaak

https://www.researchgate.net/profile/Garth-Isaak/2
ResearchGate
Garth Isaak
Lehigh University ・ Department of Mathematics
Ph.D.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/21

26: １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土) 11:39:45.72 ID:bSMWtlup

以前、間違いキーワード ”乗法イデアル”でヒットした記事
記念に貼るねｗ

”世の中にはブラックバイトとか派遣会社で
しのいでいる人達がいるのに，筑駒で乗法イデアル層とか先生の真似を
しているだけで金をもらっているから”
が意味わからんかったｗ

”職業的に数学者というのはない”と関連しているとおもうのだがｗ

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12157790267
aru********さん 2016/4/4
無知でごめんなさい
合格した場合の話なんですが、京大理学部数理科学系って、数学オリンピックなどの数学に関する賞なんて取ったことないけど、数学が大好きで、いままで学習した概念や定理な
どをただただもっと深く学習したい人が所属してついていける場所ですか？
それと、京大理学部数学科からハーバードメディカルスクールへの入学はシステム的に可能なのですか？
よろしくお願いします

ベストアンサー
ama********さん 2016/4/5
はぁ？

まず数学と医学を混同したら，話がごちゃごちゃになる．
医学の場合は医師免許を取っているから職業的に医者というのは
確保している一方で，数学は中高教員や予備校はともかく，
職業的に数学者というのはない．
何でややこしくなるかというと，某駒場の大学が，公募の特別研究員
とは別に駒場COEとかいう研究員を自前で用意しているから，
大概他大学と喧嘩になる．世の中にはブラックバイトとか派遣会社で
しのいでいる人達がいるのに，筑駒で乗法イデアル層とか先生の真似を
しているだけで金をもらっているからだけど．
こうなったらぐちゃぐちゃになる原因だから，まず自分の周りから
整理すべきではないのか？というのを自覚していない人が多い．
なので，あなたの成績以前の問題に，社会的に何を主張しているのか
をあなた自身が全く把握していないということ．
厳しい意見だと思いますけど，出願する以上は，その後を正しく
把握してから，考えるべきだと思います．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/26

46: １３２人目の素数さん [] 2023/04/09(日) 17:34:25.04 ID:t7hWlMRX

あほサルよけに https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5 ｗ
再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/977
>>975
>正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」

分かり易い証明があったので下記貼る

なお、ここに”初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります”とあるだろ？
例えば、同等な条件→同値な条件 だけれど、あえて”同等”としているようだ
私が、”正方行列の逆”と書いたのも、同じこころだ

で、本来正則と書くべきはその通りだし、そう言えば良いだけだ
ところが、「お前は線形代数が分かっていない。正則という言葉を知らない」というから

ひねって「零因子行列のことだろ？」と答えたら
”零因子行列⊂正則行列”の意味に取ったサルが居たｗ

https://academ-aid.com/math/reg-iff
Academaid
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
【徹底解説】正則行列の六つの同等な条件 2022年5月5日
正則と六つの同等な条件

6．一次方程式 Ax＝0は自明な解しかもたない [証明]
https://academ-aid.com/math/reg-iff-triv
証明
連立一次方程式
Ax＝0 ・・・(1)
を考えます。
Aが正則であるならば逆行列A^-1
が存在しますので，式(1)の左から
を掛けることにより，x＝0
が得られます。すなわち，式(1)は自明な解しかもたないことが示されました。
逆に，式(1)は自明な解しかもたないとき，
x＝(x1,・・・,xn)，Aの列ベクトルをa1,・・・,an
とおくと，
Σi=1～n xiai＝0
を満たす実数x1,・・・,xn
はすべて0になります。すなわち，a1,・・・,an
は一次独立になります。ここで，行列の階数はA
の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数ですので，
rank A＝n
となります。
正則と六つの同等な条件より，
rank A＝nと行列A
が正則であることは同等でしたので，
式(1)は自明な解しかもたないことと行列
が正則であることは同等になります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/46

63: １３２人目の素数さん [] 2023/04/10(月) 11:33:30.20 ID:NAHaxzUy

>>59
ほいよ、一橋大
なお、確率論おとしたおサル https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
一橋より下だなｗ

https://www.hit-u.ac.jp/kyomu/newstudents/
2023年度新入生へのお知らせ  一橋大
https://www.rdche.hit-u.ac.jp/education/guide/
共通教育履修案内 一橋大

数学の基礎学力を身につけたい学生や、将来、理論経済学、計量経済学、ゲーム理論、金融工学、保険数理など数学を多用する分野の科目を学びたい学生には前述の4科目全てを履修することを勧めます。
数学分野の発展科目には線形代数と微分積分の「続論」や「演習」の他、「集合と位相Ⅰ・Ⅱ」、「確率」、「統計」、「計画数学Ⅰ・Ⅱ」、「数理論理学」などが用意されており、数学を幅広く学習することができます。
数学分野の科目（数学科目）の履修ガイド（pdfファイル） 情報科学分野の基礎科目には、コンピュータやネットワークの知識と技術、および情報セキュリティの問題について基本から学ぶ「情報リテラシー」と、コンピュータプログラミング（C言語やPythonなど）の初歩について学ぶ「プログラミング基礎」の2科目があります

https://www.rdche.hit-u.ac.jp/wp-content/themes/daigaku-kyoiku2018/download/education/zengaku_math_2023.pdf
数学分野の科目（数学科目）の履修ガイド 一橋大

一部の発展科目については基礎科目と並行して履修することが可
能です。例えば発展科目「集合と位相Ｉ」は前提知識が必要でなく、その理解は「線形代数
Ⅱ」や「微分積分Ⅱ」といった基礎科目を含む様々な数学分野の科目の学習の助けになるの
で、早い段階での履修を勧めます。「確率」では「微分積分Ⅰ」程度の知識を基に、数学に
限らず様々な科目で必要となる確率の知識を学習します。この科目も早い段階での履修が
望ましいです。発展科目「線形代数演習」「微分積分演習」は問題演習を通じて対応する基
礎科目の理解を深めるための講義です。基礎科目では演習に割ける時間が限られているの
で、その不足を補い理解を確かなものにしたいと思う学生にはこれらの演習科目の履修を
勧めます。また、経済学部では学部科目として統計関連科目が多数開講されていますが、商
学部や統計分析を行う社会学部、法学部の学生は「統計」を履修することを強く勧めます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/63

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