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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/
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751: １３２人目の素数さん [] 2023/03/25(土) 21:01:49.98 ID:9yv+eJYE >>750 つづき 例 9.12 (0, 1] と (0, 1] × (0, 1] の濃度は等しい. f : (0, 1] ?→ (0, 1] × (0, 1] を f(x) = (x, 1/2) で定義すれば, これは明らかに単射である. 逆向きの単射を構 成しよう. 第 8.2 節で議論した実数の無限小数表示を思い出すと, x, y ∈ (0, 1] に対して, (ξ1, ξ2, . . .),(η1, η2, . . .) ∈ ? が一意的に定まって, x = 0.ξ1ξ2 ・ ・ ・ , y = 0.η1η2 ・ ・ ・ と書ける (補題 8.5). これを用いて, 写像 g : (0, 1] × (0, 1] ?→ (0, 1] を g(x, y) = 0.ξ1η1ξ2η2 ・ ・ ・ (9.5) で定義する. 右辺に対応する (ξ1, η1, ξ2, η2, . . .) は確かに ? の元であるから, g(x, y) ∈ (0, 1] となる. さらに, (9.5) の右辺から x, y を一意的に再現できるの で, g は単射である. 2) 双方向の単射が構成できたので, カントル-ベルンシュタ インの比較定理 9.9 を適用して |(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]| がわかる. 第 7.1 節で議論したように, |(0, 1]| = |R| は既知である. したがって, |(0, 1] × (0, 1]| = |R × R| が得られる (補題 7.16). 一方, 例 9.12 で示したように, |(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]| であるから, |R| = |R × R| (9.6) がわかる. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/751
752: １３２人目の素数さん [] 2023/03/25(土) 21:02:08.39 ID:9yv+eJYE >>751 つづき xy-座標を考えれば, 平面の点と実数の順序対 (x, y) が 1 対 1 対応するの で, 点の集合として平面と直積集合 R^2 = R × R の濃度は等しい. そうすると, (9.6) から, 点の集合として「直線と平面の濃度は等しい」という結論に至る. 直線は平面の中で, 実にわずかな部分しか占めていない. しかし, 直線を構成 している点をバラバラにして並べ替えれば, 平面を埋め尽くすのである. だから と言って, 直線をぐるぐると引き回して平面が埋め尽くされるという見方は, も ちろん正しくない.3) 3)カントルは 1878 年の論文 [33] で |R| = |Rn| を証明した. 実は, 次元に関する考察から |R| < |R^2| を予想して, 3 年に及ぶ格闘の末, その予想は裏切られたのだった. デデキントとの往復 書簡の中で「我見るも, 我信ぜず」と記している. 集合の濃度という概念が, 幾何学的な実体からか け離れていて, カントルでさえ直感が及ばなかったのだろうか. 確かに, |R| = |R^3| を根拠に, 1cm の線分の点を並べ替えて地球を作ることができる (もちろん, 物理的には不可能だが) と言われて も, どう直感と折り合いをつけたらよいのだろうか. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/752
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