ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2

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118: １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水) 10:31:10.63 ID:5EhJK9sz

>>111
>>x^p-2=0　のガロア群は？
>位数p(p-1)の群だけど。
>しかし、だからと言って
>>ζp^x→ζp^(ax+b)
>と作用してるわけではありませんから～、残念。

横から失礼
ガロア初心者には分かりづらいだろうから（私も初心者ですが）
（作用は、おいといて（多分そのうちｗ））

下記の雪江明彦 可解性について の”1 のべき根のことをどう考えるか”
関連事項です。もっと言えば、クンマー拡大、クンマー理論関連だね

ここ、私も昔はよく分かっていなかった
大体は、どのガロア理論のテキストでも
”必要な1のべき根は基礎体に含まれる”とさらっと書いて流している
私も、それが当たり前で空気みたいに思っていた（1のべき根に対する意識が希薄化していた）

が、1のべき根をしっかり意識しないといけないのが
クンマー拡大、クンマー理論、クロネッカー・ウェーバー、その先に高木類体論という流れになります

x^p-2=0は、1のべき根が含まれている雪江明彦の立場では（これが一般ですが）
ガロア群は、位数pの群（＝巡回群（＝コーシーの定理とガロア第一論文にある））です

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦
代数の教科書について
代数の教科書は日本評論社から出版されました。
・可解性について (2012/10/30更新)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/kakaisei.pdf
可解性について
方程式が可解であることをどう定義するかだが，1 のべき根のことをどう考えるか
ということがしばしば問題になる. 私個人の結論としては 1 のべき根も加えて考える
のがよいということである.
略
この方程式は t, cos((θ0 + 2π)/3), cos((θ0 + 4π)/3) と 3 つの実数解を持つ. す
ると判別式は正で，解の公式を使うと，3 乗根の中の平方根は虚数である. よって，ま
た複素数の 3 乗根をとることになり，どうどうめぐりになる. だから 1 のべき根は 1
のべき根としてそのままにしておくのがよいと思う.
どちらにせよ，5 次以上の方程式は 1 のべき根を加えてもべき根で表せないので，
非可解性に問題はないのである.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/118

173: １３２人目の素数さん [] 2023/03/09(木) 18:28:38.82 ID:PjKcpDKf

>>169
>　なぜなら、この件は梅田亨が2004年1月～3月の
>数学セミナーの連載記事で、矢野健太郎の記憶違い
>によるホラ話であることが明らかになったからである
> ホラは以下の２点
> 1.　ある定理(連続関数の原始関数の存在)を
>　積分を用いずに証明したのは高木貞治ではない
>　(実はシュミットだそうだ)
> 2.　ダジャレをいつたのは高木だが
>　実は彼の考えは全く逆であった

梅田亨さんね（下記）。彼は、いろんな連載をしているね
だが、梅田説が完全に正しいとは限らないと思うよ
（その記事読んでないのに反論して悪いけど）

１）2004年1月～3月とあるけど、どの月なの？ ピンポイント指定しなよｗ
２）矢野健太郎の記憶違いがある可能性は否定できないが、かと言って矢野健太郎氏が荒唐無稽な根も葉もないことを書いたとするのは、如何か？
３）梅田亨氏が 「連続関数の原始関数の存在を、積分を用いずに証明した」説は、意味分からんし
　（下記のように、測度論と絡むし、リーマン積分から定義しないと、結局ダメなんじゃない？ｗ
　　下記の高知工科大学はそこは流しているけど、この程度の証明で済むなら、高木先生の出る幕ないぜｗ
　　おサルさん、何か勘違いじゃね？）
　
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86
不定積分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
微分積分学の基本定理
微分積分学の基本定理（びぶんせきぶんがくのきほんていり、英: fundamental theorem of calculus）とは、「関数に対する微分と積分は互いの逆操作である」 ということを主張する解析学の定理である。微分積分法の基本定理ともいう。
微分積分学の基本定理は一変数の関数に対するものだが、多変数関数への拡張は、ストークスの定理として知られる。
定理
微分積分学の基本定理として知られる定理にはいくつか（等価でない）バリエーションがある。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/173

272: １３２人目の素数さん [] 2023/03/10(金) 12:01:28.17 ID:ghglJniN

>>202
>磁場項を含むシュレディンガー方程式は
>複素モンジュ・アンペール方程式の解析に
>新しい道を開きました。

ありがとう
和文検索では、ジャストの文献ヒットしないけど
取りあえずヒットしたメモをば貼ります

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/seminar/colloquium/past_2.html
談話会・数理科学講演会
過去の記録
2019年06月28日(金)
15:30-16:30   数理科学研究科棟(駒場) 056号室
木田良才 氏 (東京大学数理科学研究科)
軌道同値関係への誘い
[ 講演概要 ]
測度空間への群作用に対し，作用の軌道を同値類とする同値関係が得られる．このような軌道同値関係の研究は，古くはフォンノイマン環の研究に動機付けられ，そのため，従順性を対象とするものが多かった．現在では，非従順な対象の研究も盛んである．例えば，非従順性と自由部分群の存在の関係を問うフォンノイマンの問題が，軌道同値関係の枠組みでは（群の場合と違って）肯定的に解決され，驚くべきことに，そのアイデアはパーコレーションの理論に基づいている（Gaboriau-Lyons）．講演では，これらを概観した後，講演者が近年取り組んでいる内部従順性にまつわる研究を紹介したい．

2018年03月10日(土)
13:00-14:00   数理科学研究科棟(駒場) 大講義室号室
二木昭人 氏 (東大数理)
K安定性と幾何学的非線形問題 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
K安定性は代数幾何における幾何学的不変式論（GIT）の安定性として定式化されたものであるが，アイデアの端緒は Kazdan-Warner が見出したある非線形偏微分方程式の可解性の障害にある．この非線形問題は微分幾何学的に表現すると，2次元単位球面に滑らかな関数 k を任意に与えたとき，計量 g に適当な正の関数 f をかけて得られる計量 fg が k をガウス曲率になるように，f を決めることができるか，という問題である．これは Nirenberg の問題と呼ばれ，現時点でも完全な答えは得られていない．2次元球面を１次元複素射影空間とみなし，更に Fano 多様体の特別な場合とみなして，Fano 多様体の GIT 安定性として定式化したのは Gang Tian であり（1997），

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/272

357: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:11:19.15 ID:UeELXD7y

>>356
つづき

（参考）英語版に詳しい証明がある、ただし文字化けなおさず。本文参照ください
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
Frobenius theorem (real division algebras)
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the Frobenius theorem, proved by Ferdinand Georg Frobenius in 1877, characterizes the finite-dimensional associative division algebras over the real numbers. According to the theorem, every such algebra is isomorphic to one of the following:
R (the real numbers)
C (the complex numbers)
H (the quaternions).
These algebras have real dimension 1, 2, and 4, respectively. Of these three algebras, R and C are commutative, but H is not.

Proof
The main ingredients for the following proof are the Cayley?Hamilton theorem and the fundamental theorem of algebra.

Introducing some notation
Let D be the division algebra in question.
Let n be the dimension of D.
We identify the real multiples of 1 with R.
When we write a <= 0 for an element a of D, we tacitly assume that a is contained in R.
We can consider D as a finite-dimensional R-vector space. Any element d of D defines an endomorphism of D by left-multiplication, we identify d with that endomorphism. Therefore, we can speak about the trace of d, and its characteristic and minimal polynomials.
For any z in C define the following real quadratic polynomial:

Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(x-z)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].
Note that if z ∈ C ? R then Q(z; x) is irreducible over R.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/357

358: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:11:52.56 ID:UeELXD7y

>>357
つづき

The claim
The key to the argument is the following

Claim. The set V of all elements a of D such that a2 <= 0 is a vector subspace of D of dimension n - 1. Moreover D = R 〇+ V as R-vector spaces, which implies that V generates D as an algebra.
Proof of Claim: Let m be the dimension of D as an R-vector space, and pick a in D with characteristic polynomial p(x). By the fundamental theorem of algebra, we can write

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \backslash \mathbf {R} .
We can rewrite p(x) in terms of the polynomials Q(z; x):

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).
Since zj ∈ C\R, the polynomials Q(zj; x) are all irreducible over R. By the Cayley?Hamilton theorem, p(a) = 0 and because D is a division algebra, it follows that either a ? ti = 0 for some i or that Q(zj; a) = 0 for some j. The first case implies that a is real. In the second case, it follows that Q(zj; x) is the minimal polynomial of a. Because p(x) has the same complex roots as the minimal polynomial and because it is real it follows that

p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}|^{2}\right)^{k}

Since p(x) is the characteristic polynomial of a the coefficient of x2k?1 in p(x) is tr(a) up to a sign. Therefore, we read from the above equation we have: tr(a) = 0 if and only if Re(zj) = 0, in other words tr(a) = 0 if and only if a2 = ?|zj|2 < 0.

So V is the subset of all a with tr(a) = 0. In particular, it is a vector subspace. The rank?nullity theorem then implies that V has dimension n - 1 since it is the kernel of

{\displaystyle \operatorname {tr} :D\to \mathbf {R} }. Since R and V are disjoint (i.e. they satisfy

{\displaystyle \mathbf {R} \cap V=\{0\}}), and their dimensions sum to n, we have that D = R 〇+ V.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/358

359: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:12:59.40 ID:UeELXD7y

>>358

つづき

The finish
For a, b in V define B(a, b) = (?ab ? ba)/2. Because of the identity (a + b)2 ? a2 ? b2 = ab + ba, it follows that B(a, b) is real. Furthermore, since a2 <= 0, we have: B(a, a) > 0 for a ≠ 0. Thus B is a positive definite symmetric bilinear form, in other words, an inner product on V.

Let W be a subspace of V that generates D as an algebra and which is minimal with respect to this property. Let e1, ..., en be an orthonormal basis of W with respect to B. Then orthonormality implies that:

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.
If n = 0, then D is isomorphic to R.

If n = 1, then D is generated by 1 and e1 subject to the relation e2
1 = ?1. Hence it is isomorphic to C.

If n = 2, it has been shown above that D is generated by 1, e1, e2 subject to the relations

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.
These are precisely the relations for H.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/359

391: １３２人目の素数さん [] 2023/03/14(火) 23:36:10.21 ID:5bTCTU61

>>388-390
アホが必死だなｗ

確かに、Frobenius theorem (real division algebras) https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
は、斜め読みだよ
おれも、いわば>>339同様
”ちょっと時間をかければ要点をまとめて
書くのは難しくないが
そこまで暇じゃない”ってことだｗ

それはともかく、
普通は、出題者なら
「なんだ、同じ種本見つけたか」とか言ってから
コメントを書きそうなものだが
あんたは、何を種本にしていたの？ｗｗ

でもって、ウェブからの引用を否定しておきながら
おれの引用に乗ってくるところがね～
サイコパス丸出しだね https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
（煮ても焼いても食えないｗ）

ケイリー・ハミルトンの定理>>381は、高校数学に行列が入っていたときに
チラ見したチャート式に書いてあったね 2ｘ2だけど(下記)
別に難しくないだろ？ｗ
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/mobile/matrix_mul2_m.html
※旧教育課程の高校数学Cに含まれていた「行列」について，このサイトには次の教材があります．
== ケーリー・ハミルトンの定理 ==

代数学の基本定理>>381は、複素数の範囲で多項式が1次式に因数分解できることの言い換えにすぎないし
（今の場合、そういう使い方だろ）

それより ”The rank?nullity theorem”https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem
という重要キーワード抜かしている気がするけどｗｗ

Frobenius theorem (real division algebras)の証明の中で、
ｎ＝2としておいて、四元数 の4次元にもって来るところが、ちょっと技巧的と思った
（そこが、証明のキモじゃないかと思ったよ）
十分フォロー出来なかったけど、時間できたら考えてみるわｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/391

405: １３２人目の素数さん [] 2023/03/15(水) 11:18:54.13 ID:eYGN6GRo

>>404
ありがとう
へー
方程式論で有名なタルタリア氏 下記”「タルタリア（どもり）」というニックネーム”を連想したけど
「ニコロの顎と口蓋もフランス軍によって切り落とされた。これによって、ニコロは普通には話せなくなり、「タルタリア（どもり）」というニックネームが付けられた」か
良く生き延びたね
ハンディを負って、一層努力したに違いないね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%AD%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%82%A2
ニコロ・フォンタナ・”タルタリア”（Niccolo Fontana "Tartaglia"、1499年または1500年-1557年12月13日）はイタリアの数学者、工学者、測量士。ヴェネツィア共和国の簿記係でもあった。アルキメデスやユークリッドの初めてのイタリア語訳を含む多くの著書を著し、数学関係の編集の分野で高く評価された。タルタリアは、史上初めて数学による大砲の弾道計算を行ったので弾道学の祖とされる。彼の導いた弾道は現代の理論からすれば誤りだが、45°の角度で射出した際に最も遠くに到達することは正しく導いた。
ガリレオ・ガリレイは彼の孫弟子である。タルターリアとも。なお後述するように「タルタリア」は生後につけられた渾名である。

生涯
1512年にはカンブレー同盟戦争でフランス軍がブレシアに侵攻し、さらなる悲劇を経験した。ブレシア軍は7日間に渡って街を守ったが、フランス軍がついに侵攻に成功すると、街の人達は虐殺された。戦争の終わりには、45000人を超える住民が殺されていた。
ニコロの顎と口蓋もフランス軍によって切り落とされた。これによって、ニコロは普通には話せなくなり、「タルタリア（どもり）」というニックネームが付けられた。

タルタリアは、資金が尽きる前に家庭教師からアルファベットをKまで習っただけであり、残りのLから先の文字は、墓石に刻まれた文字を手本に学んだという逸話がある。いずれにしても、彼は本質的に独学だった。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/405

410: １３２人目の素数さん [] 2023/03/15(水) 18:00:17.50 ID:eYGN6GRo

>>400 補足
>ｎ＝2 e1,e2
>そこから、四元数 の4次元にもって来るって

これ、数学ではよくある筋ですね
元々のハミルトンもこれだったような（下記）
要するに、普通は a + bi + cj の3次元から出発する
つまり、e1＝i,e2＝j を導入するのが普通の思考
だが、これでは下記 乗法と除法 の扱いがむずい
”4次元にもって来る”が、筋なんだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%89%8B%E7%AD%8B_(%E5%9B%B2%E7%A2%81)
手筋 (囲碁)
手筋（てすじ）とは囲碁用語の一つで、通常より大きな効果を挙げることのできる着手のことである。多くの場合、平凡な発想では達し得ない、やや意外性を含んだ効果的な手を指すことが多い。単に「筋」（すじ）と呼ぶこともある。将棋やチェスなどにおいても同様の意味で使われる。
正しい手筋を身につけることは、囲碁上達の大きな要諦である。このため様々なレベルの手筋だけを反復練習する本が多数出版されている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数（英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて
a + bi + cj + dk
と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。
i^2=j^2=k^2=ijk=-1
このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。

歴史
四元数の成す代数系は、1843年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された[6]。これにはオイラーの四平方恒等式（1748年）やオリンデ・ロドリゲス（英語版）の四つの径数を用いた一般の回転のパラメータ付け（英語版）（1840年）などを含む重要な先駆的研究があったが、何れもその四径数回転を代数として扱ったものではなかった[7][8]。ガウスもまた1819年に四元数を発見していたのだが、そのことが公表されるのは1900年になってからのことである[9]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/410

465: １３２人目の素数さん [] 2023/03/17(金) 23:53:21.09 ID:eLmg40vA

>>462 補足
バカな問答も、絶対ダメとは言わない（意味があることは認める）
が、それはほどほどにして、下記なども読んだ方がためになるぞ

例えば、東大 「複素数を超えて?四元数と八元数?」
高校生のための現代数学講座だが、これは普通の高校生なら半分理解できたら立派だろうね
100％理解するためには「東大に来い」ってことでしょう
だが、理解はともかく、私は大学では類似のこと読んでいたよ
ついでに、八元数と十六元数とを貼っておくよ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2018highschool-math/op2018-006.pdf
高校生のための現代数学講座 東京大学
「複素数」 玉原国際セミナーハウス
講義 (6) 　植田　一石 2018 年 7 月 21 日
「複素数を超えて?四元数と八元数?」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0
八元数（英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の ??）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。

乗法的な絶対値 (modulus) を持つより広い数体系も存在する（例えば 16-次元である錐十六元数全体）が、それらの絶対値はノルムとは別に定義されるもので、その体系は零因子をも含む。

実数体上のノルム多元体が R, C, H および O に限られることが証明できる。これら四種類の多元環は、（同型を除き）実数体上の有限次元交代可除代数に他ならない。

積が結合的ではないから、O の非零元全体は群にはならない。しかしそれはループであり、実際はムーファンループを成す。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/465

530: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土) 19:05:42.47 ID:M09HE8oG

>>523
Saitoh's conjecture
について、調べた結果

https://arxiv.org/pdf/1712.04207.pdf
A proof of Saitoh's conjecture for conjugate Hardy H2 kernels
Qi'an Guan
[8] S. Saitoh, Theory of reproducing kernels and its applications. Pitman Research Notes in
Mathematics Series, 189. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United
States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1988. x+157 pp. ISBN: 0-582-03564-3

(下記サイトから冒頭2ページのみダウンロード可能)
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-2987-0_15
Home  Reproducing Kernels and their Applications  Chapter
Applications of the General Theory of Reproducing Kernels
Saburou Saitoh

https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2003/Spring-Meeting/2003_Spring-Meeting_66/_pdf/-char/ja
数学会/総合講演・企画特別講演アブストラクト/2003 巻 (2003) Spring-Meeting 号
再生核の理論について 斎藤三郎(群馬大工)

0はじめに
再生核の理論は,1921年と1922年に出版された論文にそれぞれゼゲー核とベルグマン核と呼ばれ
る典型的な再生核が初めて現れ,その後それらの再生核は多くの人々によって研究され,複素解析学
における大きな理論に発展してきました.他方,再生核の一般的な理論は1950年にアロンシャイン
によって出版された論文同で一応完成されていました.さらに一般理論について,超関数の理論の
創始者ローランシュワルツが1964年に140ページを越える大論文【401を出版していることは大変
注目されます.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/530

622: １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火) 10:15:13.30 ID:8s9PZXQ2

>>621
乗数イデアルの表面をなめただけだが
要するに、特異点を含む場合を、乗数イデアルを使うと処理できるってことかな
そう読めた
複素解析→代数幾何へという流れね

http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h15data-R/119450/119450a.pdf
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/cgi-bin/gazo.cgi?no=119450
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004

乗数イデアルは最初 Demailly, Nadel, Siu 等の仕事において，複素解析的文脈で登場した．彼らは線束上の特異計量に付随する乗数イデアルの概念を導入し，乗数イデアルを巻き込んだ形の小平型消滅定理を証明した．その後すぐに乗数イデアルは，特異点解消と食い違い因子を用いて，純代数幾何的に再定式化された．原理的には解析的な乗数イデアルの方がより一般的な概念だが，実際にはこれまでに得られた応用のほとんどは本質的に代数幾何的なものであり，代数的な言葉に翻訳できる．さらに代数的な乗数イデアルはそれ自体で様々な応用を生み出し始めた(cf. [2], [1], [3], [8], [9]). 今やこのイデアルは双有理幾何学において重要な道具となりつつあるように思われる．本論文では，乗数イデアルの局所的性質に関する次の4つの内容を扱う．

いつ乗数イデアルの劣加法性は成立するか？

乗数イデアルの劣加法性とは，イデアルの積の乗数イデアルが，各々の乗数イデアルの積に含まれるという性質である．Demailly-Ein-Lazarsfeld [1] は，複素数体C上定義された非特異代数多様体上でこの劣加法性が成り立つことを証明した．彼らの結果は，可換環論及び代数幾何学に優れた応用を持つ．例えば，正則局所環のイデアルの形式冪の増大度に関する問題[3]や，巨大な因子の体積は爆発の上の豊富な因子の自己交点数によって近似できるという藤田の近似定理[5]などがある．しかしながら彼らの証明は，川又-Viehweg の消滅定理と対角線埋め込みが完全交差であるという事実を用いるため，正標数の体上定義されている多様体や特異点を許す多様体上では機能しない．従って，乗数イデアルの劣加法性がどのような多様体上で成立するか，というのは大変興味深い問題である．この問題について，2次元の場合には，反ネフサイクルによる整閉イデアルの特徴づけを用いると，次の結果が得られる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/622

643: １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火) 17:43:41.86 ID:8s9PZXQ2

>>642
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_algebra
Commutative algebra
This article is about a branch of algebra. For algebras that are commutative, see Commutative algebra (structure).
Commutative algebra, first known as ideal theory, is the branch of algebra that studies commutative rings, their ideals, and modules over such rings. Both algebraic geometry and algebraic number theory build on commutative algebra. Prominent examples of commutative rings include polynomial rings; rings of algebraic integers, including the ordinary integers Z ; and p-adic integers.
Commutative algebra is the main technical tool in the local study of schemes.
The study of rings that are not necessarily commutative is known as noncommutative algebra; it includes ring theory, representation theory, and the theory of Banach algebras.
Overview
Commutative algebra is essentially the study of the rings occurring in algebraic number theory and algebraic geometry.
In algebraic number theory, the rings of algebraic integers are Dedekind rings, which constitute therefore an important class of commutative rings.
Connections with algebraic geometry
Commutative algebra (in the form of polynomial rings and their quotients, used in the definition of algebraic varieties) has always been a part of algebraic geometry. However, in the late 1950s, algebraic varieties were subsumed into Alexander Grothendieck's concept of a scheme. Their local objects are affine schemes or prime spectra, which are locally ringed spaces, which form a category that is antiequivalent (dual) to the category of commutative unital rings, extending the duality between the category of affine algebraic varieties over a field k, and the category of finitely generated reduced k-algebras.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/643

681: １３２人目の素数さん [] 2023/03/23(木) 13:40:44.38 ID:gtBUMZjM

>>673
>Levi problemも有名

まるほど
下記か、”The Levi problem for Cn  was affirmatively solved in 1953?1954 independently by K. Oka, H. Bremermann and F. Norguet, and Oka solved the problem in a more general formulation, concerned with domains spread over Cn ( cf. Covering domain) (see ?[6]).”
岡先生ね
とすると、>>675 シュタイン多様体 "X 内でコンパクトとなるようなものである。これはいわゆる、エフジェニオ・エリア・レヴィ（英語版）(Eugenio Elia Levi) (1911) にちなんで名付けられたレヴィ問題の解でもある[1]"
とも、対応しているね

不勉強で、初めて知りました

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Levi_problem
Levi problem Encyclopedia of Mathematics

The problem of the geometric characterization of domains in a given analytic space that are Stein spaces (cf. Stein space); it was posed by E.E. Levi [1] for domains in the affine space Cn
in the following form. Let D
略
The Levi problem for Cn
was affirmatively solved in 1953?1954 independently by K. Oka, H. Bremermann and F. Norguet, and Oka solved the problem in a more general formulation, concerned with domains spread over Cn
( cf. Covering domain) (see ?[6]).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/681

760: １３２人目の素数さん [] 2023/03/26(日) 08:02:30.99 ID:P7rbLzdx

>>759
数学科で落ちこぼれて35年のおサルｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/35

落ちこぼれて35年で数学の勉強法も大きく変わったようだね
　>>750より
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室－システム情報数理学II研究室－
2022年度後期
数理統計学概論（教育学部・歯学部・医学部1年生向け) 木曜日3講時
【目的と概要】 さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。 この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、 統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、 母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式を学ぶ。 また、Python による簡単なプログラミングを体験する。
Python プログラミングのヒント Python Guide (PDF)
PG01. データファイルへのアクセス
PG02. 1変量データの可視化
PG03. 1変量データの統計量
(引用終り)

あなたは、大学の確率論も落ちこぼれ、単位は取れなかったようですねｗ
なので、時枝が分からないみたいだｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/

さて、線形代数も、同じようになってくると思うよ
PythonやMathematicaでも使いながら、講義をするようになるだろう

私が、線形代数で落ちこぼれたと言いたいらしいが、昔は中学で3元連立方程式の裏技解法で、クラメールの公式を教えたものだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

3x3の行列と行列式は中学校で習ったから、大学の線形代数なんてその延長で、違和感も何もなかった
おっさんは、正則行列の関連で「零因子行列の話だろ？ 知っているよ」と言ったとき
「関係ない話だ～！」と絶叫していたねｗ。哀れな落ちこぼれだったｗ
http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm 行列における零因子の構造

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/760

792: １３２人目の素数さん [] 2023/03/27(月) 12:02:51.50 ID:ZryxA1Gf

>>190
ありがとう
tractorが、不勉強で初見だな

https://arxiv.org/pdf/1412.7559
[Submitted on 23 Dec 2014 (v1), last revised 1 Aug 2015 (this version, v2)]
An introduction to conformal geometry and tractor calculus, with a view to applications in general relativity
Sean Curry, A. Rod Gover

Abstract. The following are expanded lecture notes for the course of eight one
hour lectures given by the second author at the 2014 summer school Asymptotic
Analysis in General Relativity held in Grenoble by the Institut Fourier. The
first four lectures deal with conformal geometry and the conformal tractor calculus, taking as primary motivation the search for conformally invariant tensors
and diffrerential operators. The final four lectures apply the conformal tractor
calculus to the study of conformally compactified geometries, motivated by the
conformal treatment of infinity in general relativity.

Contents
0. Introduction 2
0.1. Notation and conventions 4
1. Lecture 1: Riemannian invariants and invariant operators 6
1.1. Ricci calculus and Weyl’s invariant theory 7
1.2. Invariant operators, and analysis 8
2. Lecture 2: Conformal transformations and conformal covariance 9
2.1. Conformal Transformations 9

P4
Also left out in these notes is any discussion of conformal spin geometry. In this
case there is again a canonical tractor calculus, known as spin tractor calculus or
local twistor calculus, which is a refinement of the usual conformal tractor calculus
in the same way that spinor calculus is a refinement of the usual tensor calculus
on pseudo-Riemannian spin manifolds. The interested reader is referred to [4, 50].

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/792

897: １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火) 11:48:59.33 ID:tCJGQSNR

>>894
>周期の本買ってみたが、計算可能実数や計算不可能実数とか書いてあって面白かったよ

ありがとう
下記の吉永 正彦氏かな
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、斎藤正彦さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある（当時私も買いました）
数学セミナー 　2023年1月号 「［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ」（下記）を書かれていましたね

https://アマゾン
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学)  February 16, 2016
by 吉永 正彦 (著)
――美しい世界観へ――
Kontsevich-Zagierの予想は本質的に「二つの周期が与えられたときに,
それらが等しいかどうかを判定できるか?」という0-認識問題に対して
「積分の変形で移りあうかどうかを見ることで判定できる」という主張を
するものである. ----まえがき から
レビュー
susumukuni
VINE VOICE
5.0 out of 5 stars 代数的数を超えた世界にも代数的に統制される実数のクラスが存在するというロマンのある世界へと誘ってくれる書
Reviewed in Japan on July 25, 2016
Verified Purchase
二つの実数が与えられたとき、それらが等しいかどうかをアルゴリズミックに判定できるか？という問題を「実数の0-認識問題」という。本書はこの問題を解説する恐らく和書で最初の成書であり、その「面白さと難しさ」を実感できるとても魅力的な書である。
「周期」と呼ばれる実数たちのクラスではこの問題が可解であるという「コンツェビッチ-ザギエ予想」（からの帰結）の解説が本書の主題であるが、関連する話題にも丁寧に触れられているので、この分野を初めて学習される方でも大半の部分をフォローできるのではないかと思う。例えば主題への準備にあたる、「実代数的数のクラスで0-認識問題が可解である」ことや「タルスキーの量化記号消去定理」などの説明は分かり易く、とても好感がもてる。

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8943.html
数学セミナー 　2023年1月号
[特集1]
国際数学者会議2022 ――フィールズ賞業績紹介
・［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ……吉永正彦　14

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/897

977: １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土) 22:43:44.34 ID:bSMWtlup

>>975
>正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」

分かり易い証明があったので下記貼る

なお、ここに”初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります”とあるだろ？
例えば、同等な条件→同値な条件 だけれど、あえて”同等”としているようだ
私が、”正方行列の逆”と書いたのも、同じこころだ

で、本来正則と書くべきはその通りだし、そう言えば良いだけだ
ところが、「お前は線形代数が分かっていない。正則という言葉を知らない」というから

ひねって「零行列のことだろ？」と答えたら
”零行列⊂正則行列”の意味に取ったサルが居たｗ

https://academ-aid.com/math/reg-iff
Academaid
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
【徹底解説】正則行列の六つの同等な条件 2022年5月5日
正則と六つの同等な条件

6．一次方程式 Ax＝0は自明な解しかもたない [証明]
https://academ-aid.com/math/reg-iff-triv
証明
連立一次方程式
Ax＝0 ・・・(1)
を考えます。
Aが正則であるならば逆行列A^-1
が存在しますので，式(1)の左から
を掛けることにより，x＝0
が得られます。すなわち，式(1)は自明な解しかもたないことが示されました。
逆に，式(1)は自明な解しかもたないとき，
x＝(x1,・・・,xn)，Aの列ベクトルをa1,・・・,an
とおくと，
Σi=1～n xiai＝0
を満たす実数x1,・・・,xn
はすべて0になります。すなわち，a1,・・・,an
は一次独立になります。ここで，行列の階数はA
の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数ですので，
rank A＝n
となります。
正則と六つの同等な条件より，
rank A＝nと行列A
が正則であることは同等でしたので，
式(1)は自明な解しかもたないことと行列
が正則であることは同等になります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/977

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