スレタイ箱入り無数目を語る部屋7

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋7 (1002ﾚｽ)
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579: １３２人目の素数さん [] 2023/06/09(金) 12:17:48.75 ID:05Hzdd8B

スレ主です

>>481 より再録 （なお、簡単に一つの箱の数が一致する確率はpとする）
＜時枝記事の数列のしっぽの決定番号について＞
(決定番号の詳細は、>>30ご参照)
・まず、有限長さn個の箱の数列を考える。箱には先頭を1番として、最終n番とする番号を付する
・長さ有限の列ならば、決定番号も有限であり、全事象Ωの確率は1である
（なお、有限長さn個の箱の数列で しっぽの同値類は、最後n番目の箱の数が一致していることを、注意しておく）

Lemmma 2：有限長さn個の箱の数列で、決定番号n-m以下(1<= m <n)となる確率はp^mで、決定番号がn-m超えとなる確率は1-p^m
証明：上記同様、決定番号n-m以下となるには、まずはn番目からn-m番目までのmの箱の数が一致していなければならない
そして、n番目からn-m番目までのmの箱の数が一致していれば、決定番号n-m以下となる
その確率はp^mで、全事象Ωの確率1より、決定番号がn-m超えとなる確率は1-p^mである
(引用終り)

さて
Lemmma 3：有限長さn個の箱の数列で、
１）決定番号nとなる確率は、1-p
２）決定番号がちょうどn-1となる確率は、p-p^2
３）決定番号がちょうどn-mとなる確率は、p^m-p^(m+1)
４）決定番号が１となる確率は、p^n
証明：
１）Lemmma 2で、決定番号n-1以下となる確率はp^1で、全事象Ωの確率1より成り立つ
２）Lemmma 2で、決定番号n-1以下となる確率はp^1で、決定番号n-2以下となる確率がp^2であることから、その差を取ればいい
３）Lemmma 2で、決定番号n-m以下となる確率はp^mで、決定番号n-m-1以下となる確率はp^(m+1)であることから、その差を取ればいい
４）決定番号1は、1～nのn個の箱全ての数が一致する確率で、p^n

これが、有限長さn個の箱の数列で、一つの箱の数が一致する確率はpの場合の確率分布です
nが大きくなると、先頭の1番に近い決定番号の確率は低くなり、十分大きな長さで確率0に近くなり、無限長さでは確率0ですね
但し、無限長さ n→∞ では、非正則分布を成します>>302

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/579

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