純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/22(木) 20:45:29.85 ID:Oc9CAOS3

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前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/381
>>370-372

”可解な既約5次方程式の代数解法には
　必ず5乗根が必要なことを示せ。”
ね

いまの5chの他のスレでは、回答がない可能性大だ
よって
簡単に、ここに書けば
１）ガロア第一論文の最後にあるように、
　既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる
　（アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照）
２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要）
　根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、
　巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1})
　の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で
　例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る
　これで、上記への回答はほぼ終わりだ
４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある
　（還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう）
５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については
　Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい
６）例えば、
　命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、
　ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。
　このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない
　証明(略)（Coxを見よ）
　この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている
７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる
　なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる
８）質問があれば、してくれ。答えられる範囲で回答する
９）なお貧乏人のサルは、本を持ってないだろうから、図書館で借りてよめ！ｗ
　（また現役大学生なら、大学の図書館で読めるだろう）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/13

233: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/31(土) 23:58:03.85 ID:rNlYJ3SK

>>232
つづき

The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups.[19][20] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation {\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}} of taking group algebra {\displaystyle \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle \mathbb {C} _{G}} (over {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb{C} ) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor {\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}{\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}} turns into the operation {\displaystyle H\mapsto H^{*}}{\displaystyle H\mapsto H^{*}} of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras).[20]

In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean-Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups.[21] From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred.[22] These theories are formulated in the language of C*-algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups.[23][22]

One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense.[20] This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.[24]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/233

381: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf  [sage] 2023/01/03(火) 15:33:53.85 ID:b5Fu+qY0

>>372
>最前線でないところで、いくら何歩も前進しても、科学を進歩させていないぞと
　進歩、必要ですか？（マジ）

なんか、なんで数学やるのか動機がおかしくない？
　進歩するためなの？　進歩しないと無意味なの？
　数学者になるためなの？　数学者になれないと無意味なの？
　業績をあげるためなの？　業績あげないと無意味なの？

んなことないでしょｗ
　楽しいから数学するんでしょ　楽しくないなら数学しなくていいよ
　だれもあなたに数学してくれなんて強制してない
　別に音楽もスポーツも強制されてするもんじゃないでしょ
　数学もそれと同じ　したくなければしなくていい
　だから世の中の人の大半は　数学してないんじゃないかな
　（大半がどの程度か、正確に評価したことないけど
　　ヘタすると９０％超えそうな悪寒ｗ）

だからさぁ、数学好きでもないのに
　「自分は数学ができないといけないんだ！」
　みたいなおかしな強迫観念で検索＆コピペを繰り返してるんならやめなよ
　「自分は誰よりも数学ができると見せつけなければいけないんだ！」
　みたいなおかしな強迫観念で箱入り無数目スレやこのスレで
　初歩的な誤りに基づく発言を延々と繰り返しつづけるならやめなよ
　
　惨めだから　1こと雑談君がさ
　ウザいからじゃないよ
　惨めなの　ただただ　君が

もう、みんな、君がどんな動機でこの板に書き続けてるかうすうす分かってる
　高校までは数学できたんでしょ？
　でも大学でいきなり数学できなくなって挫折したんでしょ？
　それが今までずーっとトラウマになってるんでしょ？
　それを跳ね返したくて、検索＆コピペで虚勢張ってるんでしょ？
　
　気持ちはわかるけど、そんなことやって意味あった？
　なかったでしょ？　結局分かってないことバレたでしょ？
　なんで大学で数学ができなくなったのか？
　その原因を君が気づかない限り、同じ失敗を延々と繰り返すよ
　文章を論理的に読んでないでしょ？定義も定理も証明も
　だって失敗するところが必ずそこだもの　最初からつまづいてんのよ
　それじゃ数学書は読めないよ　論理を一から学ばないと

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/381

715: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf  [] 2023/01/14(土) 06:14:16.85 ID:AEfDxZC9

>>712
>「ζ110=-ζ55」だってね
>これ間違いだと、気付きましたかね？
　
おやおや、1クンは、1の原始n乗根の定義、知らないんだね

1の冪根
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、
n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。
全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、
1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、
または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

上記を読めばわかるとおり、1の原始n乗根は、1つとは限らない

>(ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　として)
>「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」だって？
>これ、恥の上塗りですよね？

いや　高校2年でも、正しいと分かるよｗ
ζ55=cos(2π/55)+sin(2π/55)i　として
　ζ55^28
＝(cos(2π/55)+sin(2π/55)i)^28
=cos(2π*28/55)+sin(2π*28/55)i
=cos(2π*56/110)+sin(2π*56/110)i
=cos(2π*(55+1)/110)+sin(2π*(55+1)/110)i
=(cos(2π*55/110)+sin(2π*55/110)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(cos(2π*1/2)+sin(2π*1/2)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(cos(π)+sin(π)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(-1)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=-(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=-ζ110
ですが?
何か質問はあるかい？
（つづく）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/715

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