[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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22: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2022/12/23(金) 04:29:22.45 ID:vjYMqzPx >>21 君、石井本の第6章「根号で表す」の 9節 「ピークの定理に立とう」は読んだかい？ 確かに 「Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をLとしたとき、Gal(L/G)が巡回群⇒ 　基礎体をQ(ζ)としたときのGによる拡大体L(ζ)はベキ根を含む」 となる で、L(ζ)=L、つまりL自体にζが含まれる時、 その時に限り、Lにベキ根a^(1/n)が含まれる しかし、一般にζはLに含まれない、したがってその場合 Q(ζ)をL(ζ)にするために添加されたベキ根α^(1/n)もLに含まれない f(x)の根θがζとa^(1/n)を用いた形で表されるとしても それ自体はζでもa^(1/n)でもない ラグランジュの分解式を用いて、根からa^(1/n)をくくり出すには、ζが必要 根からベキ根への写像となるヴァンデルモンド行列は ζとそのベキによって構成される しかしLにζが無ければ、ヴァンデルモンド行列が構成できない！ これが答えだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/22

54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/25(日) 09:30:49.45 ID:4mPovfMa >>34 追加補足 まず(参考) https://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf Symmetries of Equations: An Introduction to Galois Theory Brent Everitt 2007 Department of Mathematics, University of York, P6 (1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a branch of planar geometry. But things are not so simple. If we look at the solutions to x 5 - 2 = 0, something quite different happens： （図があるが略（というかここには示せない）） （言葉で書くと、複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、頂点の一つが実数α =2^1/5で、そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図） α =2^1/5 ω：1の5乗根 We will see later on how to obtain these expressions for the roots. A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of the roots of x^5 - 2 using the same reasoning as in the previous example. But this reasoning also gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon according to: （図があるが略（というかここには示せない）） （言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図） This is not a geometrical symmetry! Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to x^p - 2 = 0 have p(p - 1) symmetries. (P7 Exercise 7 に、この部分が問題として出されている） 追記 余談だが、表紙のサッカーボールの図があり、表紙を開くとP2にこれを交代群A5のCaylayグラフにした見事な図示がある これは、一見の価値ありです！ (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/54

406: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/04(水) 01:28:12.45 ID:x9OImmQ4 >>366 学部止まりどころか中退さえ怪しく除籍が疑わしいお前が人を笑うのか 重度の自己愛性人格障害だな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/406

474: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/07(土) 13:18:11.45 ID:HhX3LrOu >>467 >符号の決定はガウスを手こずらせた問題として有名ですが，今回は触れないでおきましょう。 下記かな？ (参考) https://mathlog.info/articles/1242 Mathlog 子葉 ガウス和と符号決定問題 目次 はじめに ガウス和の絶対値 定理2の証明 符号決定問題 ルジャンドル記号 定理3の証明 http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1810.html 日々のつれづれ ガウスの数学日記100　ガウスの和の符号決定問題 2012-08-10 高瀬正仁 ここで語られているのは、いわゆる「ガウスの和」の符号決定を通じて平方剰余相互法則の証明が得られるという数学的事実の発見です。証明はむずかしく、『アリトメチカ研究』の出版には間に合わなかったのですが、円周等分方程式論を「アリトメチカ」すなわち「数の理論」という名の書物に収録したガウスの真意は、この命題の認識に基づいています。1805年8月30日の日付をもつ日記「123」にいたり、ようやく証明に成功したことが報告されました。 http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-2415.html 日々のつれづれ 数学史研究の回想48　ガウスの和の符号決定をめぐって 2015-11-10 高瀬正仁 　ガウスの和の符号決定問題について、ガウスは「厳密でしかも完全な証明は通常ならざる困難に行く手をはばまれる」と正直に告白しています。そんなにむずかしい問題とは思っていなかったようなのですが、この予測は完全に裏切られてしまいました。『アリトメチカ研究』で語られた諸原理から証明を取り出すことはあきらめざるをえず、まったく新しい手法を開発しなければならないことになったのですが、「その証明を長年にわたりさまざまな仕方で試みたが、むなしかった」と、ガウスはまたも正直に告白しています。 　ガウスの言葉はガウスの和と平方剰余相互法則との関係にも及び、「この和と他のきわめて重要なアリトメチカの一定理との間に見られる親密で不思議な関係」と言っています。「アリトメチカの一定理」が平方剰余相互法則を指すことはいうまでもありませんが、ここでは「親密で不思議な関係」という一語の印象が一段と際立っています。ガウスの和と平方剰余相互法則の関係に気づいてしまったことに、ガウス自身が深く感動している様子がありありと伝わってきます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/474

732: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/14(土) 14:22:03.45 ID:pTLy1rYf 1は「総実数体上の総虚2次拡大」なんて言葉は知らないだろうし 円分体（1のべき根の体）がそうだということも知らない。 Q(exp(2πi/11))であれば、その実数部分はQ(cos(2π/11))． つまり、Q(exp(2πi/11))/Q(cos(2π/11))が虚の2次拡大。 では、sin(2π/11)はどこに入るか？ 実は、Q(sin(2π/11))⊃Q(cos(2π/11))という 包含関係があり、Q(sin(2π/11))/Q(cos(2π/11)) は実の2次拡大であることが分かるので sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。 Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の 「地図」が頭の中になくて>>692のような誤りを 平気で書くひとが、工学分野では秀でているなんて ことは考えられない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/732

753: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/15(日) 07:12:05.45 ID:KCopoF1R >>749 >代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い >一つは、”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” >こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　上記がベキ乗()^aで巡回する場合の(指数の)乗法群の生成元a（指数は×a) 　たとえばmod 5のときの　 　1→2→4→3→1　の2 　1→3→4→2→1　の3 >もう一つは、 ”1の原始冪根”に関して、 >”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、 >n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　上記は、x^a*()で巡回する場合の(指数の)加法群の生成元x^a（指数は+a) 　この場合、どのnでも生成元は存在する 　0→1→2→…→n-1→0 　ただし、x^aが生成元となるには、aがnと互いに素であるのが必要十分 　例えば、n=6の場合は、x^1,x^5が生成元 　n=55の場合は、aが5の倍数もしくは11の倍数以外なら、生成元 　したがって28ならOK 　1はいまだに(Z/nZ)×と(Z/nZ)が群として異なることが分かってないみたい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/753

863: １３２人目の素数さん [] 2023/01/17(火) 20:21:37.45 ID:75HAp8uQ (Z/5Z)×を{1,2,3,4}で表す n(ζ5_k)=(ζ5_k)^n=ζ5_kn　(ただしknは mod 5で考える) 例えばn=2なら 2(ζ5_1)=(ζ5_1)^2=ζ5_2 2(ζ5_2)=(ζ5_2)^2=ζ5_4 2(ζ5_4)=(ζ5_4)^2=ζ5_3 2(ζ5_3)=(ζ5_3)^2=ζ5_1 で、2の逆元は3である 3(ζ5_1)=(ζ5_1)^3=ζ5_3 3(ζ5_3)=(ζ5_3)^3=ζ5_4 3(ζ5_4)=(ζ5_4)^3=ζ5_2 3(ζ5_2)=(ζ5_2)^3=ζ5_1 2と3は原始根になる (2^2=4、2^3=3、2^4=1 3^2=4、3^3=2、3^4=1) 一方4は4^2=1で、2と3が生成できないから原始根にならない また1は単位元だから原始根にならない 何度もしつこくいうが　n=ζ5_ｎではない、 (Z/5Z)×の元ｎはn乗するという操作だから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/863

933: １３２人目の素数さん [] 2023/01/21(土) 06:52:24.45 ID:A8iN2IFZ >>931 アホ1　恒例の言い訳の始まり 要するにラグランジュの分解式が分かってなかったんだろ だから「なぜ可解群だと、ベキ根で解けるのか」がわかってなかった 1がラグランジュの分解式を馬鹿にして一度も計算しない間に 敵君はラグランジュの分解式をどう使うか気付いて瞬時に抜き去った やっぱ1は勉強の仕方というかそもそも態度が間違ってるんだろう なんでもかんでも馬鹿にしてサボると自分が馬鹿になるってことだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/933

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