純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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285: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 22:03:42.43 ID:x1AjdVpC

>>281
>「フーリエ級数展開の類似」というのは
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。

勿論
承知ですよ
既存の解法以外に
もう一つ
新しいフーリエ変換による解法が可能
と理解しましたよ

こうでしたね
　>>251より
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
当時は「この程度では深さが足りないな」と思ったが
このスレのレベルからすると、天才か？！って思うねｗ
(引用終り)

ええ、天才と思いますよ
新しいフーリエ変換による解法が可能なんですよね
”フーリエ逆変換を取れば アーベル方程式の根θのべき根表示が一挙に得られる”
すばらしいじゃないですか？

＞いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。

はあ？
じゃ、あんたの x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
で、その「見通し」なるものを、適用してください
条件は、スタートは 上記方程式 のみでね
（種明かしの ”Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”は、陽には使わないこと。陰で使うのは可（というか、使われても分からないしｗ））
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますよ
大学の頃レポート通りでも、あと更に研究を追加した改良版でも可ですよ
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますね

いや、私のためでなく、そもそも 前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/805より
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
　略
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
　略
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”
ね
どうぞ、その「見通し」なるものを語って下さい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/285

324: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/02(月) 20:31:06.43 ID:qZFMMNjk

>>319
ほいよｗ

下記”「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）”が、自己言及に相当します
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
概要
ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルが1931年の論文で証明した次の内容である[5]。
・『数学原理（プリンキピア・マセマティカ）』の体系や公理的集合論の中には、証明も反証もできない自然数論の命題が存在する[5]。
・また、これらの体系に公理を追加しても公理が有限個であれば、前述の命題の存在を解消できない[5]。
より正確には、不完全性定理は第一と第二に分かれている[5]。
略
証明の概要
準備
帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。
この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）が、構成できる。
ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法（を形式化したもの）が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。

ゲーデル文Gは
「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」
と表される。
「xで表される述語の対角化は証明できない」
の対角化は、G自身と同値になる。

第一不完全性定理の証明の概要
さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。

https://www.egison.org/~egi/etc/godel.html
ゲーデルの不完全性定理の証明スケッチ Satoshi Egi - 江木 聡志

http://wwwa.pikara.ne.jp/okojisan/infinity/incompleteness.html
不完全性定理のすごく簡単な説明 OK おじさんのホームページ
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/324

596: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/09(月) 09:36:09.43 ID:xY+wMPX4

>>595
つづき

さて、数学的分析
1）題は、”Solution by Radicals and the DFT”であって、DFTでもってすべてのべき根が解けるということではないよね
2）実際、扱われているのは、代数方程式で2次、3次、4次止まり
3）そして、P4の3次式ですでに
”b = - (r1 + r2 + r3) (C4)
　c = r1r2 + r1r3 + r2r3
　d = -r1r2r3.
　Three equations and three unknowns looks good, but trying to solve Equation (C4) for the rj is disheartening.
　Don’t let me discourage you from trying, but do let me know if you make progress! ”
　などとある。つまり、この後にある技巧を必要とするってことね。
4）さらに、P9 4次式で
”Remark: This “trick” avoids taking the 4-dimensional DFT. In a sense, the trick amounts to using the
　4-dimensional fast Fourier Transform (FFT). One can also solve the quartic using the Lagrange resolvents.
　See Edwards6.”
　つまり、DFTでなく、“trick”を使ったという
　実際P8の式B4で、”The DFT of the roots is”とあるけど
”The top row, as always, is symmetric in the roots, and is ?b. The second and fourth rows are similar ?
　they both qualify as Lagrange resolvents ? but the third row is different. There are 4! = 24 permutations
　of the roots rj ”
　として、結局
” Since we have a cubic formula, we can find the three t2k, and since we can take square roots, we can find all six of the ti.
　This suffices to solve the quartic since”
　“trick”で、ジャンプしていますよね
5）この文書から読めることは、DFTは部分的には役に立つけど、あくまで部分的で、DFTですべて解決するわけではない
　かつ、4次式止まり

これで良いですか

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/596

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