スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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63: １３２人目の素数さん [] 2022/10/24(月) 20:55:33.03 ID:/NL28vFA

>>58
>”時枝さん、大丈夫？ ”非可測集合”のこと、理解して書いている？”
>と、つい思ってしまうなｗ

＜ヴィタリ集合補足＞
１）ヴィタリ集合の非可測性の集合についての証明について、下記英文のwikipediaに詳しい
２）つまり、ヴィタリ集合Vを区間[-1,1]の有理数を全部挙げて、平行移動した集合から
　[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2]とできる
３）つまり、集合和 ∪k V_k には、区間[0,1]が含まれ（下記英文）、これは可測集合である
４）まとめると、非可測たるヴィタリ集合Vを可算個集めると、その中に（可測集合）区間[0,1]を含ませることができるし
　ヴィタリ集合Vは、（可測集合）区間[0,1]に含まれるし
　そして、もちろんヴィタリ集合Vの可算個の元を集めれば、それは可測である
５）よって、ヴィタリ集合Vは、それ全体として非可測なのであって、
　ヴィタリ集合Vを含む可測集合を構成可能であり、また、ヴィタリ集合の一部なら、可算部分なら可測だよ！

こんな事情なので、時枝氏の「選択公理や非可測集合を経由したからお手つき！」>>55
だなんて、果たして、時枝氏は、これで「何を言いたかったの」かな？ｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Non-measurability
A Vitali set is non-measurable. To show this, we assume that V is measurable and we derive a contradiction.
Let q_1,q_2,・・・ be an enumeration of the rational numbers in [-1,1] (recall that the rational numbers are countable).
From the construction of V, note that the translated sets V_k=V+q_k={v+q_k:v∈ V}, k=1,2,・・・  are pairwise disjoint, and further note that
[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2].
To see the first inclusion, consider any real number r in [0,1] and let v be the representative in V for the equivalence class [r]; then  r-v=q_i for some rational number q_i in [-1,1] which implies that r is in V_i.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/63

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