スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

556: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 09:47:08.22 ID:fNTesdKc

>>553
分かってないね
こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ

えーと、こうだった
　>>515-516より 引用開始
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司
ここでP2より
1.1 ボレル集合とその測度
まず n 次元ユークリッド空間 R
n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形
I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn)
になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は
mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an)
によって定めるのが妥当でしょう.

上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で
矩形の測度を定めている
これで、n→∞を考えると
１）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する
２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる
(引用終り)

１）これで
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける
　n→∞を考えると
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai)
２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると
　総和Σは、発散せずにある値に収束する
３）その値を、sとでもしますかね
　これで、mes(I)＝e^s となる
４）減衰の早さの条件は、
　積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして
　1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ）
５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに
　こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも
　これの類似が、ヒルベルト空間で、
　Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う
　これで十分関数解析などができるらしい
６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は
　そのままでは、
　無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと
（>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556

564: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 14:00:13.46 ID:fNTesdKc

>>556 補足
> ２）ここで、あるm, log (bm - am) から先が、早く減衰すると
>　総和Σは、発散せずにある値に収束する

１）いま、簡単に cm＝bm - am と書き直すと
　log cm から先が、早く0に減衰するということは
　cm→1 ってことです（ log cm→0になる ）
２）つまり、座標で
　(c1,c2,・・cm,・・)として
　ここで cm,・・の部分が、
　ほとんどが1、またはcm≒1かつlog cm が1/xより早く減衰する必要あり
　ってことです
３）上記のような部分だけが、
　有限次元のユークリッド空間におけるルベーグ測度の拡張がうまく機能する
４）しかし、それ以外では
　・例えば、0＜cm＜1-ε の場合は、ルベーグ測度は0に潰れ
　・例えば、1+ε＜cm の場合は、ルベーグ測度は∞に発散してしまう
　（εは、0＜ε なる任意の実数）
５）なので、
　>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことでしょうね
（なお、追加 下記 会田茂樹先生の記述も ご参照）

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643278/_article/-char/en
数学 2012 Volume 64 Issue 3 Pages 278-
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643278/_pdf/-char/ja
無限次元空間上のシュレディンガー作用素の準古典極限 会田茂樹 2007 年度解析学賞受賞者

無限次元空間にはルベーグ測度のような一様測度は存在しないので，
有限次元空間のときと同じようには作用素を定義できない．
無限次元空間では
考えている空間上の仮想的な “一様測度” (“ルベーグ測度”) dφ に収束因子のかかった形式的な表現
dμh- = (1/Zh-) exp-h--1F(φ)dφ (Zh- は規格化定数，F(φ) は考えている空間上の汎関数) を持つ
ウエイト付き確率測度 (これは厳密に定義できる) をもとに定式化され，この形式的な表示を用いて漸
近挙動が予測できることになる．これは，あくまで形式的な表示だが，有限次元では，もちろんきちん
とした意味を持ち，このウエイト付き測度に関するディリクレ形式の生成作用素のスペクトルギャッ
プの h- → 0 での漸近挙動の研究は多くの確率論研究者，解析学者によってなされてきたものである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/564

603: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 16:39:55.82 ID:fNTesdKc

>>560
>時枝戦略の確率空間に非可測集合は現れない

ここだけ同意
「非可測集合は現れない」というより
「非可測集合は現れても、結果には影響しない」が正確な表現だろう

>>556より
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司
このＰ5 従属選択の公理 (Axiom of Dependent Choice, DC),より
DC とは, 極大要素を持たない二項関係は無限上昇鎖をもつ, という主張です. あきらかに, 選択公
理 AC は DC を導きます. 逆に DC から AC を導くことができないことは, 定理 1 によって明らかです*6.
DC はルベーグ可測でない集合の存在を導くほどには強くないのです.
そのいっぽうで, 測度の理論に必要となる, 可算個の集合からの同時選択 (可算選択の公理) は DC によっ
て保証されます. また, 第 3 節で展開されるボレル集合のコードの理論には, 可算選択の公理だけでは不十分
で, 本当に DC が必要です. その理由は, DC が整礎的二項関係のとりあつかいを簡単にする点にあります.
(引用終り)

１）従属選択公理DCは、可算選択公理を含み、それよりも強い。しかし、非可測集合を作ることはできない（下記）
２）いま、非可算の完全代表系を弱めて、可算無限個の代表系を選んだとしよう
　そして、時枝の100個の代表が、この可算の代表系に含まれていたとする
　この場合、時枝で使うのは、100個の代表のみだから、問題なく時枝のトリックは進行する
３）もちろん、選択公理を使って、完全代表系を使っても良いが
　重要なのは、これと上記２）とで、全く同じ結果が導かれることだ
４）上記２）の場合は、非可測集合は経由していない
５）つまり、使うのは100個（たかだか有限個）であり
　非可測集合を経由しようが、あるいは経由しなくても
　両者の結果は、同じ！
６）よって、「非可測集合は現れても、結果には影響しない」

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/603

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 2.344s*