[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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553: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/03(木) 08:56:30.94 ID:8HW9bynv >>526 まず524　１）の反例 定理１　Π(n=1~∞)(1+a_n)＜∞　⇔　Σ(n=1~∞)a_n＜∞ 証明 1<1+a_n＜exp(a_n) したがって 1+Σ(n=1~N)a_n ＜ Π(n=1~N)(1+a_n) ＜ exp(Σ(n=1~N)a_n) ここでも明らかなように a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら 1<exp(a_n)だが、その無限乗積exp(Σ(n=1~∞)a_n)は有限値 はい、一回死んだ！ｗ　大学1年の微積分落第ね　🐎🦌 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/553

556: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 09:47:08.22 ID:fNTesdKc >>553 分かってないね こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ えーと、こうだった 　>>515-516より 引用開始 http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司 ここでP2より 1.1 ボレル集合とその測度 まず n 次元ユークリッド空間 R n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形 I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn) になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an) によって定めるのが妥当でしょう. 上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で 矩形の測度を定めている これで、n→∞を考えると １）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する ２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる (引用終り) １）これで 　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける 　n→∞を考えると 　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai) ２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると 　総和Σは、発散せずにある値に収束する ３）その値を、sとでもしますかね 　これで、mes(I)＝e^s となる ４）減衰の早さの条件は、 　積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして 　1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ） ５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに 　こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも 　これの類似が、ヒルベルト空間で、 　Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う 　これで十分関数解析などができるらしい ６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は 　そのままでは、 　無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと （>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556

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