スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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63: １３２人目の素数さん [] 2022/10/24(月) 20:55:33.03 ID:/NL28vFA

>>58
>”時枝さん、大丈夫？ ”非可測集合”のこと、理解して書いている？”
>と、つい思ってしまうなｗ

＜ヴィタリ集合補足＞
１）ヴィタリ集合の非可測性の集合についての証明について、下記英文のwikipediaに詳しい
２）つまり、ヴィタリ集合Vを区間[-1,1]の有理数を全部挙げて、平行移動した集合から
　[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2]とできる
３）つまり、集合和 ∪k V_k には、区間[0,1]が含まれ（下記英文）、これは可測集合である
４）まとめると、非可測たるヴィタリ集合Vを可算個集めると、その中に（可測集合）区間[0,1]を含ませることができるし
　ヴィタリ集合Vは、（可測集合）区間[0,1]に含まれるし
　そして、もちろんヴィタリ集合Vの可算個の元を集めれば、それは可測である
５）よって、ヴィタリ集合Vは、それ全体として非可測なのであって、
　ヴィタリ集合Vを含む可測集合を構成可能であり、また、ヴィタリ集合の一部なら、可算部分なら可測だよ！

こんな事情なので、時枝氏の「選択公理や非可測集合を経由したからお手つき！」>>55
だなんて、果たして、時枝氏は、これで「何を言いたかったの」かな？ｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Non-measurability
A Vitali set is non-measurable. To show this, we assume that V is measurable and we derive a contradiction.
Let q_1,q_2,・・・ be an enumeration of the rational numbers in [-1,1] (recall that the rational numbers are countable).
From the construction of V, note that the translated sets V_k=V+q_k={v+q_k:v∈ V}, k=1,2,・・・  are pairwise disjoint, and further note that
[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2].
To see the first inclusion, consider any real number r in [0,1] and let v be the representative in V for the equivalence class [r]; then  r-v=q_i for some rational number q_i in [-1,1] which implies that r is in V_i.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/63

68: １３２人目の素数さん [] 2022/10/25(火) 11:59:36.20 ID:JXoOrGqY

>>55 補足
(引用開始)
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
(引用終り)

１）R^1は1次元数直線、R^2はxy2次元平面、R^3はxyz3次元立体空間、R^4は4次元時空、・・となる
２）では、可算無限次 R^N 空間は？　ユークリッド空間を単純に無次元に拡大すると、計量ベクトル空間にならない（内積が発散する）
３）普通は、R^Nの部分空間として、ヒルベルト空間などに制限して扱う（下記）
４）この視点で、「R^N →R^N/～ の切断は非可測になる」とは、なんだろう？
５）ヴィタリ集合は、実数R中に定義されたルベーグ測度に対して、非可測集合になるということ
６）そもそも、R^N 空間に、どんな測度を定義しようというのか？ まず、それが大問題でしょ！
７）「R^N/～ の切断は非可測になる」には同意だが、”R^N 空間に定義する測度”をまず論じないと、数学的には無意味ですよね！ｗｗ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。
これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/68

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