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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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526: １３２人目の素数さん [] 2022/11/02(水) 21:25:02.54 ID:yfFXmDCT >>524 >＞１）もし、全て(bn - an)>1 ならば、mes(I) →∞に発散する >＞２）一方、全て(bn - an)<1 ならば、mes(I) →0に潰れる >どっちも反例が存在します！ まあ、例外的に反例が存在するだろうが これは、定理として述べたのものではないよｗ 有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は そのままでは、 無限次元ユークリッド空間に拡張しても面白くないってこと （>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ） これは、覆らないぞｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/526
553: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/03(木) 08:56:30.94 ID:8HW9bynv >>526 まず524 １）の反例 定理１ Π(n=1~∞)(1+a_n)＜∞ ⇔ Σ(n=1~∞)a_n＜∞ 証明 1<1+a_n＜exp(a_n) したがって 1+Σ(n=1~N)a_n ＜ Π(n=1~N)(1+a_n) ＜ exp(Σ(n=1~N)a_n) ここでも明らかなように a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら 1<exp(a_n)だが、その無限乗積exp(Σ(n=1~∞)a_n)は有限値 はい、一回死んだ！ｗ 大学1年の微積分落第ね 🐎🦌 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/553
554: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/03(木) 09:18:21.99 ID:8HW9bynv >>526 次に524 ２）の反例 定理２ 各項が1>a_n>0を満たすとき Π(n=1~∞)(1-a_n)＞０ ⇔ Σ(n=1~∞)a_n＜∞ 証明 級数が発散する場合は Π(n=1~N)(1-a_n) ＜ exp(-Σ(n=1~N)a_n) であるから、部分積が0に収束することにより、無限乗積も０に「発散」する 級数が収束するときは、部分和が減少列であるから、下から押さえられることを示せばよい。 あるNが存在して a_n ＜ 1/2, n ≧ N となる。このとき次が成り立つ。 1/(1 + 2 a_n)≦ 1 − a_n, n ≧ N 級数が収束することから 2?(n=1~N)a_n=?(n=1~N)2a_n も収束し したがって ∏(n = 1~∞)(1 + 2 a_n) も収束する。 ゆえに部分積には下限∏(n = 1~∞)1/(1 + 2 a_n)があり、 （0より大きな値に）収束する。 ま、上記の証明をトレースしなくても、例えば a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら 1>exp(-a_n)だが、その無限乗積exp(-Σ(n=1~∞)a_n)は有限値 はい、二回死んだ！ｗ 大学2年の微積分再履修も落第ね 🐎🦌 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/554
555: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/03(木) 09:22:08.28 ID:8HW9bynv >>526 ＞まあ、例外的に反例が存在するだろうが 例外なんて甘っちょろいもんじゃないね 普遍的に例外が存在するから 大学１年の微積分も全然分かってない大🐎🦌の貴様に 数学なんかまったく語れないから諦めて死ねよ （死ね＝数学板に書き込むのはもちろん、読むのもやめて失せろ、の意味 したがって誹謗でもなんでもなく、有意義な提言として感謝すべきｗ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/555
556: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 09:47:08.22 ID:fNTesdKc >>553 分かってないね こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ えーと、こうだった >>515-516より 引用開始 http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司 ここでP2より 1.1 ボレル集合とその測度 まず n 次元ユークリッド空間 R n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形 I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn) になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an) によって定めるのが妥当でしょう. 上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で 矩形の測度を定めている これで、n→∞を考えると １）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する ２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる (引用終り) １）これで log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける n→∞を考えると log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai) ２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると 総和Σは、発散せずにある値に収束する ３）その値を、sとでもしますかね これで、mes(I)＝e^s となる ４）減衰の早さの条件は、 積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして 1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ） ５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも これの類似が、ヒルベルト空間で、 Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う これで十分関数解析などができるらしい ６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は そのままでは、 無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと （>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556
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