スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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556: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 09:47:08.22 ID:fNTesdKc

>>553
分かってないね
こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ

えーと、こうだった
　>>515-516より 引用開始
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司
ここでP2より
1.1 ボレル集合とその測度
まず n 次元ユークリッド空間 R
n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形
I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn)
になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は
mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an)
によって定めるのが妥当でしょう.

上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で
矩形の測度を定めている
これで、n→∞を考えると
１）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する
２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる
(引用終り)

１）これで
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける
　n→∞を考えると
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai)
２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると
　総和Σは、発散せずにある値に収束する
３）その値を、sとでもしますかね
　これで、mes(I)＝e^s となる
４）減衰の早さの条件は、
　積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして
　1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ）
５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに
　こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも
　これの類似が、ヒルベルト空間で、
　Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う
　これで十分関数解析などができるらしい
６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は
　そのままでは、
　無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと
（>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556

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