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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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515: １３２人目の素数さん [] 2022/11/02(水) 12:20:28.79 ID:i6iI4IYN >>489 追加 再録 http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司 (愛媛大学 理学部) 2007 年数学基礎論サマースクール 静岡大学にて 2007 年 9 月 4 日～7 日 (引用終り) ここでP2より 引用開始 1.1 ボレル集合とその測度 Borel が提唱したボレル集合とその測度の定義は, ルベーグ測度の絶対性を論じる際に必要ですから, ここで 概略を述べます. まず n 次元ユークリッド空間 R n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形 I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn) になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an) によって定めるのが妥当でしょう. 有限個の矩形の和集合の測度も, 初等幾何でやるように, 交わりのない矩形 の和に分割することで計算できます. (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/515
516: １３２人目の素数さん [] 2022/11/02(水) 12:21:00.99 ID:i6iI4IYN >>515 つづき 上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で 矩形の測度を定めている これで、n→∞を考えると １）もし、全て(bn - an)>1 ならば、mes(I) →∞に発散する ２）一方、全て(bn - an)<1 ならば、mes(I) →0に潰れる >>236の議論に戻ると １）多項式環の無限次元線形空間が、ある種ユークリッド空間（有限次元）の無限次元化と考えられること (引用終り) で、>>33 柳田伸太郎 名古屋大 ”形式的冪級数の空間 K[[x]] (例 1.3.8) から I = N を添字集合とする直積 K^N =Πi∈N K への写像 ψ: K[[x]] -→ K^N, Σi=0～∞ fix^i -→ (fi)i∈N は同型写像 (証明は問題 2.3.2). 例 1.3.3 より K^N は数列空間だから, 形式的冪級数の空間 K[[x]] と数列空間 K^N は同じ線形空間と見なせる事が分かる.” から、 時枝氏>>1のR^N上の可算非可算を論じるためには （それは、形式的冪級数の空間 K[[x]]を多項式空間 K[x]で割ったK[[x]]/K[x] を考えることだが>>32-33） そもそも、無限次元の上記 矩形の測度 をどう定義するかから、始めなければならない 上記のように、n→∞で発散したり、0に潰れる測度のままで良いのかどうか？ の吟味から必要になるってことです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/516
556: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 09:47:08.22 ID:fNTesdKc >>553 分かってないね こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ えーと、こうだった >>515-516より 引用開始 http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司 ここでP2より 1.1 ボレル集合とその測度 まず n 次元ユークリッド空間 R n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形 I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn) になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an) によって定めるのが妥当でしょう. 上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で 矩形の測度を定めている これで、n→∞を考えると １）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する ２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる (引用終り) １）これで log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける n→∞を考えると log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai) ２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると 総和Σは、発散せずにある値に収束する ３）その値を、sとでもしますかね これで、mes(I)＝e^s となる ４）減衰の早さの条件は、 積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして 1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ） ５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも これの類似が、ヒルベルト空間で、 Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う これで十分関数解析などができるらしい ６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は そのままでは、 無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと （>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556
746: １３２人目の素数さん [] 2022/11/05(土) 20:14:57.79 ID:3kC00iWj >>730 > つまり、代表は100個しか使わない。ヴィタリ集合のように、代表を非可算個使えばともかく > 有限個の代表使用だけでは、ヴィタリ類似の非可測集合を使っているとは言えないということ >一方で、R^N自身にルベーグ測度が入らないという （会田茂樹 2007>>564, 藤田博司>>556） > だから、このままでは、R^N上の関数もルベーグ可測関数にはならないのは明白 >両者(>>603と>>715と)は、数学的主張として別物ですよ 落ちこぼれ、”非可測”も十把一絡げ 細かく見ると、違いが分かるんだよ １）ヴィタリ集合は、実数R上のルベーグ測度に対して、 選択公理を用いて、R/Qの完全代表系を利用することで、構成される>>512 ２）「R^N自身にルベーグ測度が入らない」（会田茂樹 2007, 藤田博司）は、 そもそも「ボレル集合とその測度」>>515 において 測度を”開矩形 (open rectangle)” mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an) で定義することに由来する いま簡単に、Li=bi - ai とおいて、全てのLiがLに等しいとすると mes(I) =L^n と書ける これで n→∞ とすると、mes(I) =L^∞ となる 明らかに、0＜L＜1なら0に潰れ 1＜Lなら∞に発散する ここに、選択公理は関係ない つまり、ヴィタリ集合の非可測とは全く異なるのです ３）関数の可測性は、 関数の可測な像の逆像がまた可測になるというもの>>716 （非可測な関数は、これが保証されない。そうなるとルベーグ積分ができないのです。） （ルベーグ積分ができないと、測度論による確率計算をすることができないことに） 落ちこぼれさんは、 この３つの非可測の区別が 理解できないらしい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/746
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