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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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474: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 18:59:08.91 ID:25yibjh9 >>473 つづき ４）ヴィタリ氏は上記を逆手にとって、[-1.+1]の範囲の有理数qを全て集めて、∪V+qを作る ∪V+q を考えると、これは[-1,2]の範囲に収まる。一方で、∪V+q は上記の考察から、区間[0,1]の全ての実数を含む つまり[0.1]⊂∪V+q ５）いま、λ(S)を集合Sにルベーグ測度を与える関数とする（上記wikipedia通り） λ(∪V+q）＝Σλ(V） で (なお、Σは、[-1.+1]の有理数qを全て数え上げて（可算無限）和を取る) よって 1<=Σλ(V）<=3 （<=3は[-1,2]の範囲に収まることから、1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う） ６）これは、λ(V）に0、有限、∞のいかなる値を付与しても矛盾。よって、λ(V）にはいかなる値（測度）も与えることができず、非可測集合を成す ここで、重要ポイントが二つ １）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること ２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること ここは押さえておきたいね なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/474
475: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 19:00:14.39 ID:25yibjh9 >>474 タイポ訂正 １）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること ↓ １）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/475
477: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 19:50:23.88 ID:Hdk0OAq+ >>474 ＞ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが 可算理論モデル？知らんな ありもしないものが有名とは、🐒は頭オカシイな 「全ての実数の集合がルベーグ可測である」というモデルなら有名だがな そのモデルでは選択公理は成り立たないからヴィタリ集合は構成できず したがって存在しない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/477
478: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:06:04.63 ID:+emxAWt1 タイポ訂正 >>471 Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？ ↓ Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場を聞きたい >>474 なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） ↓ なお、ソロヴェイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/478
480: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:28:39.58 ID:+emxAWt1 >>479 つづき ２）このヴィタリの非可測証明とパラレルに考えると a)”１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること”>>474 について、相当するR^Nのルベーグ測度は何だろう？ あなたは、”>>438は単なる積測度の定義 数学科の学生なら必修”>>442 だったね Rのルベーグ測度の直積を作れば、即 R^Nのルベーグ測度になるのかな？ b)”２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること”>>474 について、R^N/～がR/Qとパラレルにできる？ つまり、"/Q"に相当する元がR^N中に取れる？ さらに、断面[0,1]はどうか？ [0,1]^Nかね？ まさかねｗ 商は、"/Q"ではなく"/～"だよね。そして、”[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動”はどうする？ ”可算無限和Σλ(V）”に相当する部分はどこなのか？ ここらを曖昧にして、腰だめで、時枝氏は”そっくりである”と書いているよね（突っ込みどころ満載だけど） 勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが （注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ） どう思います？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/480
484: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 23:34:06.88 ID:+emxAWt1 >>474 誤変換訂正と補足 ＜誤変換訂正＞ ２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること ↓ ２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること 注）普遍→不変 ＜補足＞ > 1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う） ここは、下記に詳しいので引用する (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set Vitali set Non-measurability [0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2]. To see the first inclusion, consider any real number r in [0,1] and let v be the representative in V for the equivalence class [r]; then r-v=qi for some rational number qi in [-1,1] which implies that r is in Vi. google訳(少し手直し) [0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2]. 最初の包含関係を見るために、 [0,1] の任意の実数 r を考え、v を V中で 同値類 [r] の代表とする； そうすると[-1,1] 内のある有理数 qi に対して r-v=qi とできて、これは、r が Vi 内にあることを意味する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/484
511: １３２人目の素数さん [] 2022/11/02(水) 11:15:36.79 ID:i6iI4IYN >>509 ＞>>506 ＞>いま元々はヴィタリの非可測性の話で、 ＞>{0}は測度0と解せられる ＞ {0}は測度0だが、{0}という言葉が測度0を指してる筈 ＞ と言うなら日本語の文章読めてない 逆だろｗ あんたは、数学オチコボレ >>506より >>473 >>ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？ >>にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、 >>決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？ (引用終り) １）コンテキスト（文脈）として、集合の可測非可測を論じていた ２）ヴィタリの非可測集合>>473は、元はR/Qの完全代表を区間[0,1]内にとったもの 区間[0,1]→任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れる>>473 ３）”にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？”>>473だよ さて、当たり前の話だが、もし この{0}を零集合（ルベーグ測度0の集合）の意味に解さなければ、問自身が無意味だ （例えば、[0,ε)の部分集合として、二つの有理数q1,q2∈Q からなる二点集合{q1,q2}(q1≠q2)を考える q1＝0とすると、q1≠q2よりq2≠0で、二つの有理数q1,q2∈Q の二点集合{q1,q2}(q1≠q2)は、１点区間{0}に出来ない ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの有理数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様）） ４）だから、当然{0}＝零集合（ルベーグ測度0）（下記）と解するべきです そして、ヴィタリの非可測集合Vが、零集合（ルベーグ測度0）でないことは、>>473-474に示した （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96 測度論 完備性 可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合 (null set) という。測度 μ が完備 (complete) であるとは、零集合の全ての部分集合が可測であることである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/511
512: １３２人目の素数さん [] 2022/11/02(水) 11:42:17.56 ID:i6iI4IYN >>511 訂正と補足 訂正 （二つの有理数r1,r2→二つの実数r1,r2） ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの有理数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様）） ↓ ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの実数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様）） 補足 区間[0,ε)内にとったヴィタリ集合が非可測集合になることは >>473-474で、1→εに変換すれば、全く同様に証明できる つまり、区間[0,1]→[0,ε] (面倒なので閉区間にします。非可測性には影響しないので) として、有理数の数え上げを、区間[-ε,+ε]として、この区間内の全ての有理数を数え上げる （このヴィタリ集合をV、区間[-ε,+ε]内の有理数をqi∈[-ε,+ε]とする。qiは可算濃度のこころ） >>474と同様に 集合の包含関係 [0,+ε]⊂= ∪i(V+qi)⊂=[-ε,+2ε] が成立 λ(V)と仮定する (λ(V)は、Vのルベーグ測度 >>474) 上記から ε<=Σi λ(V+qi)<=3ε であり、λ(V+qi)＝λ(V)だから よって、ルベーグ測度λ(V)の可算無限和が、ε以上で3ε以下（ε≠0）となること が導かれるが、これは λ(V)が0、有限、∞のいずれの値もとることが出来ないことを意味する （詳しくは下記など） QED （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 構成と証明 略 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/512
612: １３２人目の素数さん [] 2022/11/03(木) 17:18:29.06 ID:fNTesdKc >>473-474 戻る >ヴィタリ集合 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 >ここで、重要ポイントが二つ > １）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること > ２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること >ここは押さえておきたいね １）>>564に記したように、時枝のような無限次元空間R^Nには、 ”ルベーグ測度のような一様測度は存在しない”（会田茂樹）という ２）時枝氏は、>>55「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている. その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」 という ３）しかし、ヴィタリの非可測集合の前提である ”全体集合(今の場合 R^N) にルベーグ測度が与えられている”が、不成立だ だから、無限次元空間R^Nになんらかの測度を与えるところから始める必要ありだ ４）そして、1次元空間Rのルベーグ測度におけるヴィタリの証明における a)平行移動で測度不変 b)区間[0,1]に断面を作ったこと この二つを、無限次元空間R^Nで どう実現するのか？ ５）繰り返すが、”ルベーグ測度の代替(R^N上の)”、"平行移動で測度不変"、”区間[0,1]に相当する断面は？” 最低この３つを、はっきりさせないと、「そっくりである」とは言えないよ ６）私も、R^N/～の完全代表系が、可測集合になるとは思わないがｗ R^Nに”ルベーグ測度のような一様測度は存在しない”（会田茂樹）を考えると 「時枝さん、何言っているの？ ヴィタリそっくりであるとは言えないよ！」 と思うわけですｗｗ （要するに、数学として非可測の証明がまだ無いのです！！） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/612
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