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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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467: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 16:18:01.62 ID:2RlHdKPX >>463 私からも質問していいですか？ Q?.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？ Q?.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？ Q?. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？😏 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/467
473: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 18:58:26.05 ID:25yibjh9 >>467 >私からも質問していいですか？ いいよ >QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？ Yes >QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？ Yes （蛇足だが、εは微小数のイメージだが、逆にいくらでも大きな数ｍで[0,m)とできる） （もし、εやｍが無理数なら、[0,ε],[0,m](閉区間)とできる） >QⅢ. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？ それは、https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set に詳しい解説がある（この話は過去に書いているよ） 概略は下記（なお、厳密な定義や説明が、面倒なので記号の濫用をします） １）非可測の前段として、ルベーグ可測が定義される（ここは ヴィタリ集合 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 に詳しい説明がある） ２）R/Qを考える （ヴィタリ集合に説明があるので省略） ３）R/Qの代表系を区間[0,1]にとる いま、ヴィタリ集合Vとして、無理数v∈Vを考える [0,1]の範囲の有理数qで、v+qやv-q' を考える (ここに 0<q<1-v,-v<q<0, つまり[-v,1-v]の範囲の有理数qでv+qは、代表に取れない v+q not∈V) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/473
479: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:27:40.86 ID:+emxAWt1 >>467 さて 質問への回答は、>>467-468に書いたよ そこで、関連で追加の質問をします 時枝氏の記事>>1の関連>>55より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/404 さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある 「R^N/～; の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている. その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」 さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する 「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない. しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う. (引用終り) これで １）”その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである” ここの陳述で、ヴィタリ集合については、>>467-468に書いた通りだが つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/479
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