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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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399: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:46:36.79 ID:V6kL7bYX 定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、 しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。 証明：A∈F_N に対して A^[k]∈F_N が成り立つことの証明は省略する。 次に、A∈F_N を任意に取る。μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)を示したい。 一般に (A^[k])^[l]＝A^[k＋l] なので、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) が示せれば十分である。 まず、A ⊂ [0,1]A^[1] が成り立つ。また、A, [0,1]A^[1]∈F_N である。よって、 μ_N(A) ≦ μ_N([0,1]A^[1]) であり、そして μ_N([0,1]A^[1])＝μ_N(A^[1]) である。 よって、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/399
432: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:07:53.71 ID:sIOgpcGr >>390-425 読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。 (>>399) ＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、 ＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。 この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、 なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。 なので、>>399は丸ごと削除する。 そして、>399の性質を使っているのは>>404だけなので、以下で>>404を証明し直す。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/432
434: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:10:10.22 ID:sIOgpcGr では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。 そのやり方は、>>400, >>402と全く同じ方法でよかった。 A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。 A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、 μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、 μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。 x∈[0,1) を任意に取って、x での断面を考えれば、( [0,1)A )_x ⊃ B_x である。 ( [0,1)A )_x ＝ A なので、A ⊃ B_x である。さらに、B∈F_N により B_x∈F_N である。 よって、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B_x)＝μ_N(B_x)である。これが任意の x∈[0,1) で言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/434
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