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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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382: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:58:53.23 ID:V6kL7bYX 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、 積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は (Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、 (Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。 B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 そこで、z∈Y_99−M を1つ取って固定する。z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})と表せる。 この z^{0},z^{1},…,z^{98} に対して、k＝max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と置く。すると、 B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦k } ＝ (d≦k) である。よって、(d≦k)∈F_{Nw} ということになる。 しかし、d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 以上により、A は非可測である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/382
383: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 15:09:16.34 ID:V6kL7bYX 補足。>>376では ＞ n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。 という、若干 意味が取りづらい表現をしてしまったが、>>382で書いているように、 ・ 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間を (Y_n,E_n,α_n) と書く という意味のつもりである。たとえば、Y_n を明示的に書くと Y_n ＝ [0,1]^N × [0,1]^N × … × [0,1]^N ( [0,1]^N がn個ある直積) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/383
384: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 15:09:51.67 ID:Rh3Q9O/g >>382 >d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 え、その証明はしないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/384
423: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:14:00.40 ID:V6kL7bYX さて、>>375-383の証明を修正しなければならない。>>382 の ＞B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 ＞B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 ＞任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 この部分までは、修正の必要はない。ここから先は、新しく証明を書き直す。 状況を整理しておくと、A が可測であるという仮定のもとで、 B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} } という集合について、 (☆) あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす という展開になっている。ここから矛盾を導きたい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/423
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