[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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375: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:40:46.09 ID:V6kL7bYX 一般に、測度空間 (X,F,m)が与えられたとき、その完備化を (X,F_w,m_w) と書くことにする。 補題：(X_i,F_i,m_i) (i＝1,2)は有限測度空間で、(X,F,m)はその積空間とする。よって、 X＝X_1×X_2,　F ＝ ( {A_1×A_2｜A_i∈F_i} から生成される最小のσ集合体 ),　m＝(m_1とm_2の積測度) である。このとき、次が成り立つ。 (1) A∈F を任意に取るとき、任意の x_1∈X_1 に対して、A の x_1 での断面 A_{x_1} は A_{x_1}∈F_2 を満たす。すなわち、A が可測なら、任意の x_1∈X_1 に対して断面 A_{x_1} は可測である。 (3) (X,F,m) の完備化は (X, F_w, m_w) と書かれるのだった。 同様に、(X_2,F_2,m_2) の完備化は (X_2, F_{2w}, m_{2w}) と書かれるのだった。 ここで、A∈F_w を任意に取る。このとき、m_1,a.e.x_1∈X_1 に対して、 A の x_1 での断面 A_{x_1} は A_{x_1}∈F_{2w} を満たす。 すなわち、完備化された X の空間の中で A が可測なら、ほとんど至るところの x_1∈X_1 に対して、 断面 A_{x_1} は完備化された X_2 の空間の中で可測である。 この補題は基本的な事実なので、証明は省略する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/375

380: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:49:29.31 ID:V6kL7bYX A は可測だと仮定する。すなわち、A∈F だと仮定する。 (Ω,F,P) は2つの確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と (I, G, η) の積空間を 完備化したものである(>>293)から、>>375の補題により、 ・ η.a.e.i∈I s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす ということになる。よって、あるゼロ集合 M∈G が存在して、 ・ ∀i∈I−M s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす ということになる。(I, G, η) におけるゼロ集合は空集合しかないので、 M は自動的に空集合であり、よって ・ ∀i∈I s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす ということになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/380

382: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:58:53.23 ID:V6kL7bYX 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、 積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は (Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、 (Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。 B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 そこで、z∈Y_99−M を1つ取って固定する。z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})と表せる。 この z^{0},z^{1},…,z^{98} に対して、k＝max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と置く。すると、 B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦k } ＝ (d≦k) である。よって、(d≦k)∈F_{Nw} ということになる。 しかし、d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 以上により、A は非可測である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/382

423: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:14:00.40 ID:V6kL7bYX さて、>>375-383の証明を修正しなければならない。>>382 の ＞B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 ＞B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 ＞任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 この部分までは、修正の必要はない。ここから先は、新しく証明を書き直す。 状況を整理しておくと、A が可測であるという仮定のもとで、 B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} } という集合について、 (☆) あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす という展開になっている。ここから矛盾を導きたい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/423

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