[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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359: １３２人目の素数さん [] 2022/10/30(日) 23:43:58.09 ID:S1FiB990 >>356 補足 下記 ヴィタリ集合V は、測度として 0、有限（99/100を含むｗ）、∞のいかなる値も取れない（定義できない） （なお、ヴィタリ集合 V ⊂[0, 1]だよ？ Vの外測度 1と言いたいのかな？ 　でも、証明読めば分かるけど、[0, 1]→[0, m] mは任意の正の整数 とできるよ？ そのときVの外測度はm(任意)だよ ） （1→mにするのは、非可測証明の目的にはそぐわないけどね） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 構成と証明 R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。 ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v∈ V,u≠ vであれば v - u は必ず無理数である。 ルベーグ測度は平行移動について不変なので λ (Vk)=λ (V) である。 ゆえに、 1 <= Σk=1～∞ λ (V) <= 3. であるが、これは不可能である。 一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。 すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/359

361: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/30(日) 23:54:54.05 ID:6rtRwLi2 >>359 今回使われている外測度 P^* は、P から生成した外測度である。 Pは確率測度であり、よって 0≦P(B)≦1 (∀B∈F) を満たすので、外測度 P^* の方も 0≦P^*(B)≦1 (∀B∈pow(Ω)) を満たす。よって、「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置いたときに、 P^*(A) が 1 を超えることはあり得ない。すなわち、自動的に 0≦P^*(A)≦1 が成り立つ。 実際には P^*(A)≧99/100 であるから、要するに 99/100 ≦ P^*(A) ≦ 1 が成り立つということ。ちなみに、A は明らかにヴィタリ集合ではない。 なぜなら A⊂Ω であり、そして Ω ＝ [0,1]^N × I という積空間だからだ。 要するにスレ主、>>290-308を全く読んでないのであろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/361

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