スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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32: １３２人目の素数さん [] 2022/10/23(日) 08:33:01.88 ID:5JY9jG/V

>>31
まとめよう
後の都合で、前スレから都築暢夫先生、梅谷武氏、柳田伸太郎先生をも、再録する

前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/459
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
2006年度 代数学1:講義ノート
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学 I (第2回) 都築 暢夫 広島大 4 月 21 日
P2
例 1.4. 多項式環 F[x]. F 係数多項式全体の集合 F[x] は F 線形空間になる。さらに、
F[x] は可換環 (「代数学 A」で登場する加減乗を持つ代数系で、体の定義で (9) を外し
たもの) になる。
P3
例 3.2. 多項式環 F[x]. F[x]n は 1, x, ・ ・ ・ , x^n を基底に持つ n + 1 次元線形空間である。
F 線形空間 F[x] は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。
証明. 略
(引用終り)

＜補足説明＞
1）
・形式的冪級数環R[[X]]と、多項式環R[X]との関係
　R ⊂ R[X] ⊂ R[[X]]で、R[[X]]はR[X]より真に大きい集合である
（ここらは、なかなか理解が難しいが。分からない人は専門書に当たって下さい）
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/3_2.html
一変数多項式と形式的冪級数
著者:梅谷 武 2021-03-17
R上の形式的冪級数環をR[[X]]、多項式環をR[X]と書きます。このときR ⊂ R[X] ⊂ R[[X]]という包含関係があります。また、{ Xi | i ∈Ｎ }はR[X]の基底であり、したがってR[X]はR-自由加群になっています。

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/32

252: １３２人目の素数さん [] 2022/10/29(土) 20:02:01.24 ID:TJ1yzMer

>>243-244
>∪R^n(n∈N) 　⊂　l2　⊂　R^N

"∪R^n(n∈N) 　⊂　l2"が違うだろ
∪R^n(n∈N) は、完備でない無限次元線形空間で可算なハメル基底を持つもの>>239 とする

つまり、これは
”多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）”>>32
”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.”柳田伸太郎 名古屋大学 >>33
に相当する

いま、各座標の値がaである(a,a,・・,a,・・)∈∪R^n(n∈N)  を考える
二乗総和を考えると
Σn=1→∞ a^2 →∞
つまり、二乗総和は収束しない
従って、"∪R^n(n∈N) 　⊂　l2"は、不成立！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93
数列空間
数列空間（英: sequence space）とは、実数あるいは複素数の無限列を元とするベクトル空間のことを言う。またそれと同値であるが、自然数から実あるいは複素数体 K への関数を元とする関数空間のことでもある。そのような関数すべてからなる集合は、K に元を持つ無限列すべてからなる集合であると自然に認識され、関数の点ごとの和および点ごとのスカラー倍の作用の下で、ベクトル空間と見なされる。すべての数列空間は、この空間の線型部分空間である。通常、数列空間はノルムを備えるものであり、そうでなくとも少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学におけるもっとも重要な数列空間のクラスは、p-乗総和可能数列からなる関数空間 ｌ^p である。それらの空間は p-ノルムを備え、自然数の集合上の数え上げ測度に対するL^p空間の特別な場合と見なされる。収束列や零列のような他の重要な数列のクラスも数列空間を構成し、それらの場合はそれぞれ c および c0 と表記され、上限ノルムが備えられる。任意の数列空間は各点収束の位相を備えるものでもあり、その位相の下でのそれらの空間は、FK空間（英語版）と呼ばれるフレシェ空間の特殊な場合となる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/252

266: １３２人目の素数さん [] 2022/10/29(土) 23:32:05.06 ID:TJ1yzMer

>>236 補足の続き

１）非正則分布とは？
　>>13の通り 確率の和(積分)が1ではない
　つまり、全事象が無限大に発散して、全事象を1とすることができない
（コルモゴロフの確率公理を満たすことができない分布のこと）
２）要するに、非正則分布は、例えば、一様分布の範囲を無限に広げた分布である（一様事前分布）>>28
　範囲が無限であっても、正規分布のように、指数関数的に減衰する場合は、積分は発散せず、正当に扱える
　類似で、裾の重い分布がある
　分布の裾が、xの-1乗より早く減衰すれば、積分は発散しない
（積分 ∫x=1～∞ x^-1 dx が発散して∞になることは、よく知られている）>>13
３）では、時枝の決定番号はどうか？
　決定番号は、多項式環の多項式の次数+1と解せられる>>161
　いま、箱にサイコロの目1～6を入れる
　1次式 a0+a1x で6^2通り
　2次式 a0+a1xa2x^2 で6^3通り
　n次式 a0+a1xa2x^2・・ で6^(n+1)通り

４）つまり、決定番号は減衰するどころか、
　増大するという とんでもない分布になっている
５）さらに、1～mの数字を入れれば、n次式でm^(n+1)通り
　mが全ての自然数Nを渡るならば、n次式でN^(n+1)通り
　全ての実数Rを渡るならば、n次式でR^(n+1)通り
６）そして、多項式環は無限次元線形空間を成すから>>32-33
　結局、多項式の次数の分布は、無限次元線形空間R^N内のベクトルの分布
　（増加も破天荒で、非可算無限倍で増加）

７）無限次元線形空間R^N内から、無作為にベクトルを取れば、それは無限次元であって
　従って、それは無限次の式を意味するってこと
８）だから、時枝氏の決定番号は非正則分布で、多項式環＝無限次元線形空間R^N だから>>32-34
　有限次の多項式100個を選んだら、それは無作為だとは、言えないってこと
　よって、無作為性が否定され、その確率計算は、正当化されないのです>>261
　（強いて言えば、条件付き確率計算になる>>105）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/266

309: １３２人目の素数さん [] 2022/10/30(日) 14:49:42.75 ID:S1FiB990

>>238-239 補足
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。

ここを補足すると
１）数論系では：
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
（注：有限小数 Finite decimalより、FDとした ）
ここで
・有限小数環と有理数環とは、基底は可算無限
・実数環と複素数環とは、基底は非可算無限（ハメル基底）
（なお、有限小数が和と積で閉じてて、環を成すことは容易に分かる）
・実数環は完備で、有理数環と有限小数環は完備ではない
（なお、有理数環と有限小数環とも、その内部でコーシー列を作り、完備な実数環を構成できる）

２）関数解析系では：（>>32-35ご参照）
多項式環F[x]⊂有理式環RF[x]⊂形式的冪級数環F{[x]}
（有理式環：任意の二つの多項式f1(x),f2(x)の商f1(x)/f2(x)を含む。但しf2(x)≠0。f1(x)/f2(x)が、和と積で閉じていることは見やすい）
（注：有理式 rational function より、RF[x]とした ）
ここで
・多項式環は、基底は可算無限次元の線形空間になる （x^0,x^1,x^2,・・,x^n,・・ が、標準的な基底になる）
・形式的冪級数環は、基底は非可算無限（実数のハメル基底と類似が成り立つ）
・形式的冪級数環は完備で、多項式環と有理式環は完備ではない
（なお、多項式環と有理式環とも、その内部でコーシー列を作り、完備な実数環を構成できる）

３）つまり
・多項式環は、基底は可算無限の線形空間を成す
・形式的冪級数環は、基底は非可算無限(実数のハメル基底と類似)の線形空間を成す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/309

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