スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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309: １３２人目の素数さん [] 2022/10/30(日) 14:49:42.75 ID:S1FiB990

>>238-239 補足
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。

ここを補足すると
１）数論系では：
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
（注：有限小数 Finite decimalより、FDとした ）
ここで
・有限小数環と有理数環とは、基底は可算無限
・実数環と複素数環とは、基底は非可算無限（ハメル基底）
（なお、有限小数が和と積で閉じてて、環を成すことは容易に分かる）
・実数環は完備で、有理数環と有限小数環は完備ではない
（なお、有理数環と有限小数環とも、その内部でコーシー列を作り、完備な実数環を構成できる）

２）関数解析系では：（>>32-35ご参照）
多項式環F[x]⊂有理式環RF[x]⊂形式的冪級数環F{[x]}
（有理式環：任意の二つの多項式f1(x),f2(x)の商f1(x)/f2(x)を含む。但しf2(x)≠0。f1(x)/f2(x)が、和と積で閉じていることは見やすい）
（注：有理式 rational function より、RF[x]とした ）
ここで
・多項式環は、基底は可算無限次元の線形空間になる （x^0,x^1,x^2,・・,x^n,・・ が、標準的な基底になる）
・形式的冪級数環は、基底は非可算無限（実数のハメル基底と類似が成り立つ）
・形式的冪級数環は完備で、多項式環と有理式環は完備ではない
（なお、多項式環と有理式環とも、その内部でコーシー列を作り、完備な実数環を構成できる）

３）つまり
・多項式環は、基底は可算無限の線形空間を成す
・形式的冪級数環は、基底は非可算無限(実数のハメル基底と類似)の線形空間を成す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/309

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