スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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13: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 09:18:52.99 ID:vbwjrS8W

>>8 補足
> ３）ｎ→∞の極限を考える（非正則分布になる）、当りの確率1/ｎ→0

＜非正則分布についての補足＞
(参考)
箱入り無数目を語る部屋2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/834 より
https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
AVILEN Inc
2020/04/14
非正則事前分布とは？?完全なる無情報事前分布?
ベイズ統計
ライター：y0he1
非正則な分布とは？一様分布との比較
非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。
非正則分布は確率分布ではない！？
上で説明した非正則な分布ですが、よく見てみてください。確率の和が1ではありません
https://kuboweb.github.io/-kubo/log/2010/img05/BayesianInference/chapter6.pdf
Link and Barker (2010) 輪読@北海道大学 Part1. 第 6 章 Prior 1
Chapter 6. Prior
2010/5/29 (Sat.) 飯島勇人†
P8
6.2.2 Improper priors
一様事前分布は、パラメータが有限の範囲を持つ時に、適切と考えられる値が特に存在しないと
きに有効である。この考えを無限に拡張することはよいように思われるが、無限の範囲を持つ一様
分布は不可能である。improper prior（非正則事前分布）という考えを導入する必要がある。
(引用終り)

要するに、非正則分布は、例えば、一様分布の範囲を無限に広げた分布である（一様事前分布）
範囲が無限であっても、下記の正規分布のように、指数関数的に減衰する場合は、積分は発散せず、正当に扱える
類似で、裾の重い分布がある
分布の裾が、xの-1乗より早く減衰すれば、積分は発散しない
（積分 ∫x=1～∞ x^-1 dx が発散して∞になることは、よく知られている）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/13

266: １３２人目の素数さん [] 2022/10/29(土) 23:32:05.06 ID:TJ1yzMer

>>236 補足の続き

１）非正則分布とは？
　>>13の通り 確率の和(積分)が1ではない
　つまり、全事象が無限大に発散して、全事象を1とすることができない
（コルモゴロフの確率公理を満たすことができない分布のこと）
２）要するに、非正則分布は、例えば、一様分布の範囲を無限に広げた分布である（一様事前分布）>>28
　範囲が無限であっても、正規分布のように、指数関数的に減衰する場合は、積分は発散せず、正当に扱える
　類似で、裾の重い分布がある
　分布の裾が、xの-1乗より早く減衰すれば、積分は発散しない
（積分 ∫x=1～∞ x^-1 dx が発散して∞になることは、よく知られている）>>13
３）では、時枝の決定番号はどうか？
　決定番号は、多項式環の多項式の次数+1と解せられる>>161
　いま、箱にサイコロの目1～6を入れる
　1次式 a0+a1x で6^2通り
　2次式 a0+a1xa2x^2 で6^3通り
　n次式 a0+a1xa2x^2・・ で6^(n+1)通り

４）つまり、決定番号は減衰するどころか、
　増大するという とんでもない分布になっている
５）さらに、1～mの数字を入れれば、n次式でm^(n+1)通り
　mが全ての自然数Nを渡るならば、n次式でN^(n+1)通り
　全ての実数Rを渡るならば、n次式でR^(n+1)通り
６）そして、多項式環は無限次元線形空間を成すから>>32-33
　結局、多項式の次数の分布は、無限次元線形空間R^N内のベクトルの分布
　（増加も破天荒で、非可算無限倍で増加）

７）無限次元線形空間R^N内から、無作為にベクトルを取れば、それは無限次元であって
　従って、それは無限次の式を意味するってこと
８）だから、時枝氏の決定番号は非正則分布で、多項式環＝無限次元線形空間R^N だから>>32-34
　有限次の多項式100個を選んだら、それは無作為だとは、言えないってこと
　よって、無作為性が否定され、その確率計算は、正当化されないのです>>261
　（強いて言えば、条件付き確率計算になる>>105）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/266

683: １３２人目の素数さん [] 2022/11/04(金) 23:35:07.04 ID:sQY7VXAT

>>675
>>「その同値類から、ランダムに代表を選ぶ方法があるか？」
>「ランダム」という言葉で、「毎回、代表を変更する」と云っているなら
>箱入り無数目にはそのような記載はないでしょう
>代表はいったん決めたら変更しない

ランダムとは、無作為抽出（下記）の意味ですよ
「その名の通り、ある集団から要素を抽出するのに、作為的な手順を使わないことが特徴である。そのため、無作為抽出法によるサンプリングを行うと、集団の全ての要素が同じ確率で抽出されることになる」（下記）

決めた代表を変える変えないではなく
そもそも最初の代表選びで、作為が入っていて、無作為でない（”無作為抽出法によるサンプリングを行うと、集団の全ての要素が同じ確率で抽出されることになる”の否定になっている）

例えば、離散一様分布[0,M]（Mは正整数）において、M→∞として
自然数N全体にわたる 非正則分布>>13を考えることができる
で、離散一様分布[0,M]では、明らかに下記の無作為抽出は可能だ
しかし、M→∞とした 自然数N全体にわたる 非正則分布で 無作為抽出が可能かどうか？
これは、大いに疑問でしょ

簡単な考察ですぐ分かるが、
n個の有限のサンプル m1,m2,・・・,mn を取ると
これらの中央値や平均値は有限でしかない
しかし、自然数N全体にわたる 非正則分布では、これらは発散して有限で収まらない

決定番号も同様で、決定番号には上限がない
無作為抽出＝ランダム・サンプリングに、疑問がある
決定番号を使った計算が、果たして確率計算として正当化されるかが、疑問

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E4%BD%9C%E7%82%BA%E6%8A%BD%E5%87%BA
無作為抽出（むさくいちゅうしゅつ）やランダム・サンプリング（英: random sampling）とは、ある集団から標本（サンプル）を無作為（ランダム）に抽出（サンプリング）する行為のことである。日本工業規格では、「無作為標本」の項で、「無作為な選択方法によって選んだ標本」と定義している[1]。

概要
その名の通り、ある集団から要素を抽出するのに、作為的な手順を使わないことが特徴である。そのため、無作為抽出法によるサンプリングを行うと、集団の全ての要素が同じ確率で抽出されることになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/683

701: １３２人目の素数さん [] 2022/11/05(土) 09:10:26.67 ID:3kC00iWj

>>666
>>完全代表系を事前に定めておけば時枝戦略が成立する
>>という主張に反論したいなら
>>完全代表系を事前に定めておいても時枝戦略が成立しない
>>を立証する必要がある
>具体的にはいかなる列を選んでも箱入り無数目の戦略が全失敗する
>代表系の例を示すことですね　
>それのみが立証でありそれ以外立証ではないですからね
>全面同意です

ハマり？
まあ、時枝氏ほどの人がハマッたんだから、仕方ないけど
分かり易く説明するよ

１）いま箱が二つ、箱1と箱2
２）箱にサイコロの目を入れる
　確率変数のX1,X2で扱える*)
　X1>X2なら回答者の勝ち、逆なら負けとする
　（*)引分けが、考えられるが、今はこれは排除する）
３）箱1を開ける
　ここで重要なこと
　a)確率上、開けた箱と開けてない箱とは、扱いが違う
　　つまり、開けた箱は確率変数でなくなり、開けていない箱は依然確率変数だ
　b)勝ち負けの確率と、開けていない箱の数の的中確率とは違う
　この二つを確認しておこう
４）箱1を開けて、
　X1＝6だった。まあ、勝てる確率ほぼ1（引き分け排除なら1だ）
　X1＝1だった。まあ、勝てる確率ほぼ0（同上）
　さてこれで分かることは、
　開けていない箱2の数当ては、なお1～6の可能性を残していること
５）上記のようなサイコロの目とか有限の範囲や正規分布の数を入れる
　ゲームを繰返せば、回答者の勝率は1/2 （”大数の法則”ご参照（下記））
（但し、どのような方法で数を決めているかの情報は得ているとしてだが）
６）しかし、決定番号類似で、出題がn1,n2∈N（自然数 非正則分布>>13）とする
　箱を開けていない状況では、n1>n2 or n1<n2 の二択だから、勝つ確率1/2 が直感的判断だろう
　さて、箱1を開けn1を知る。この瞬間に状況が変わる
　箱2は、開けていないので、確率変数X2のままだから、全ての自然数を取り得る
　従って、直感的には、回答者の勝率0
（”箱を同時に開ければどうなるか”の問題はあるが、この場合そもそも確率論にどうのせるかから始まるだろう）
　”大数の法則”？ さあ？ どうなのでしょう？ N（自然数）は非正則分布だから、既存の確率論に乗るかどうか？

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/701

731: １３２人目の素数さん [] 2022/11/05(土) 14:59:02.58 ID:3kC00iWj

>>701
(引用開始)
６）しかし、決定番号類似で、出題がn1,n2∈N（自然数 非正則分布>>13）とする
　箱を開けていない状況では、n1>n2 or n1<n2 の二択だから、勝つ確率1/2 が直感的判断だろう
　さて、箱1を開けn1を知る。この瞬間に状況が変わる
　箱2は、開けていないので、確率変数X2のままだから、全ての自然数を取り得る
　従って、直感的には、回答者の勝率0
（”箱を同時に開ければどうなるか”の問題はあるが、この場合そもそも確率論にどうのせるかから始まるだろう）
　”大数の法則”？ さあ？ どうなのでしょう？ N（自然数）は非正則分布だから、既存の確率論に乗るかどうか？
(引用終り)

戻る
１）振り返ってみると、いままで、こういう自然数なり正の実数なり
　無限集合での n1,n2 の大小確率は、論じられることが殆ど無かった（日本では）、時枝記事までは
２）>>1の
　https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
　（Pruss氏）
　”A quick way to see that the conglomerability assumption is going to be dubious is to consider the analogy of the Brown-Freiling argument against the Continuum Hypothesis (see here for a discussion http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636 ). ”
　辺りが類似の議論だろうか？
３）ともかく、日常の数学では
　n1,n2∈N, P(n1>n2)＝1/2
　と無意識に思ってしまう
　自然数が、非正則分布>>13 であるにも拘わらずだ
４）本当は、確率を論じるならば
　もっと慎重な、検討が必要ってこと
　時枝さんの記事は、ここらの反省材料を提供していますねｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/731

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