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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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432: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:07:53.71 ID:sIOgpcGr >>390-425 読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。 (>>399) ＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、 ＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。 この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、 なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。 なので、>>399は丸ごと削除する。 そして、>399の性質を使っているのは>>404だけなので、以下で>>404を証明し直す。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/432
433: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:08:47.98 ID:sIOgpcGr その前に、見落としがちな注意点を1つ。 (X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。 このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。 内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、 そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する ・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B) という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、 B＝A∪(B−A) と分解できて、AとB−Aは互いに素なので、 ν_*(B)＝ν_*(A∪(B−A))≧ν_*(A)＋ν_*(B−A)≧ν_*(A) となり、確かに ν_*(A)≦ν_*(B) である。なぜこちらは逆転しないのかというと、 A⊂B がともに可測のときには、ν_*(A)＝ν(A), ν_*(B)＝ν(B) であり、 かつ ν(A)≦ν(B) なのだから、このように考えれば、逆転するわけがないと分かる。 内測度なんて滅多に使わないので、一応補足しておいた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/433
434: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:10:10.22 ID:sIOgpcGr では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。 そのやり方は、>>400, >>402と全く同じ方法でよかった。 A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。 A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、 μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、 μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。 x∈[0,1) を任意に取って、x での断面を考えれば、( [0,1)A )_x ⊃ B_x である。 ( [0,1)A )_x ＝ A なので、A ⊃ B_x である。さらに、B∈F_N により B_x∈F_N である。 よって、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B_x)＝μ_N(B_x)である。これが任意の x∈[0,1) で言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/434
435: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:13:02.12 ID:sIOgpcGr フビニの定理から μ_N(B)＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z)dμ_N(z) ＝ ∫_{ [0,1] × [0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y) ＝ ∫_{ [0,1] }∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y)dμ_N(y)dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1] } μ_N(B_x) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1) } μ_N(B_x) dμ_1(x) ≦ ∫_{ [0,1) } μ_{N*}(A) dμ_1(x) ＝ μ_{N*}(A) すなわち μ_N(B)≦μ_{N*}(A) となる。[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B は任意だったから、 μ_{N*}([0,1)A)≦μ_{N*}(A) となる。以上により、μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。 修正完了。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/435
436: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:23:04.71 ID:sIOgpcGr >>431 さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。 まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。 μ_1([0,1])＝1 なので、この測度空間は確率空間になっている。 そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。 これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。 [0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。 これは確率論の基礎の範囲。 ＞１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える ＞2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・ ＞なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ） 実際、0＜a＜1 に対して [0,a]^N ∈F_N が成り立ち、なおかつ μ_N([0,a]^N)＝0 である。 しかし、μ_N([0,1]^N)＝1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/436
437: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:28:10.93 ID:sIOgpcGr >>431 ＞５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか？ 何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。 では、μ_N はどこから来たのか？ 何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、 その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、 ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、 ・ 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と書いた時点で、既に μ_N が [0,1]^N 上の測度として自動的に採用されている。 つまり、μ_N という測度が出現するのは 「可算無限直積 確率空間」という操作を施したタイミングである。 そこで初めて μ_N という測度が出現し、それが [0,1]^N 上の測度として採用される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/437
438: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:35:41.23 ID:sIOgpcGr μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる： 任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、 A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる) という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。 すなわち、上記の集合に対して μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。 この書き方でどんな測度が入っているのか理解できないなら、スレ主は確率論を語る資格がない。 一応注意しておくが、これは自分が独自に考案した確率空間ではない。 ごく標準的な確率空間の構成を述べているだけである。さすがにこれは確率論の基礎の範囲。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/438
443: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:06:20.63 ID:sIOgpcGr 可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。 Infinite Products of Probability Spaces https://jpmccarthymaths.com/2012/01/08/infinite-products-of-probability-spaces/ ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/443
444: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:07:36.99 ID:sIOgpcGr まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。 それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。 そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが 上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1〜∞]Ω_n である。つまり Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×… である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、 Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (＝[0,1]^N) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/444
445: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:09:42.48 ID:sIOgpcGr 具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、 ＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1〜∞]A_n ⊂ Ω ＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n. ＞ Elements of R will be called rectangles. として集合族 R を用意する。ご覧の通り、 R ＝ { Π[n＝1〜∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n } と置いている。つまり、Π[n＝1〜∞]A_n の実体は Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… (← これ以降は Ω_* が順番に並ぶ) というものである。標本空間である Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×… の中から 先頭の有限個だけを弄って A_1×A_2×…×A_k に差し替え、残りの Ω_m は弄らないという集合が Π[n＝1〜∞]A_n の実体である。そのような Π[n＝1〜∞]A_n 全体の族を R と置いている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/445
446: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:11:16.35 ID:sIOgpcGr R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。 先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、 いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といったイメージである。 ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1〜∞]A_n は Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ) というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440) などとバカみたいな発言をしているが、 そもそもこのような集合(rectangle, 柱状集合, シリンター)が出発点なのである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/446
447: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:11:47.06 ID:sIOgpcGr R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。 リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、 ここでは A_f と書くことにする。 A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/447
448: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:13:40.31 ID:sIOgpcGr 次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。 まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において ＞ Now for A＝Π[n＝1〜∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1〜∞] P_n(A_n). ＞ The product converges since all but finitely many factors are 1. と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1〜∞]A_n∈R に対して P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) と定義している。 P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。 n ごとに A_n⊂Ω_n, A_n∈S_n なのだから、A_n に施すべき確率測度は P_n であり、 よって P_n(A_n) という項が出現している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/448
449: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:14:32.75 ID:sIOgpcGr A の実体は A＝Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… というものだったから、P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義の実体は P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})… というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k) と定義している。つまり、無限積に見える P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義は、 実際には有限積であり、具体的には P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k) である。このことは ＞ The product converges since all but finitely many factors are 1. にも書かれている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/449
450: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:15:50.41 ID:sIOgpcGr 要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) として定義しているわけである。 最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k) と定義することになる。スレ主はこのことを「時枝トリック類似」(>>440) などと言ってインチキ扱いしていたが、むしろ、これこそが 無限直積 確率空間における確率測度を定義するための第一歩なのである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/450
451: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:17:21.33 ID:sIOgpcGr 続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。 A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、 ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。 そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、 そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、 よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。 こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。 すなわち、A＝∪[r＝1〜N] B_r の右辺の表現の仕方によらず一意的に P(A) の値が定まる。 より具体的に言えば、同じ A＝∪[r＝1〜N] B_r を別の有限個の互いに素な C_1,…,C_M∈R によって A＝∪[r＝1〜M] C_r と表せたときに、 Σ[r〜1〜N] P(B_r) ＝ Σ[r〜1〜M] P(C_r) が成り立つことが示せる。このことはリンク先で証明されている。 こうして P：A_f → [0,1] が定義できたが、この P は A_f 上で有限加法的であることが示される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/451
452: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:18:57.30 ID:sIOgpcGr A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。 そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。 https://ja.wikipedia.org/wiki/E.%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%97%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E5%AE%9A%E7%90%86 ちなみに、>>443のリンク先では ＞ by the Caratheodory Extension Theorem. すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。 このことは上記のwikiでも触れられていて、 ＞ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を ＞「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。 ということらしい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/452
453: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:20:42.82 ID:sIOgpcGr さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま ・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1〜∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1〜∞] A_n) ＝ Σ[n＝1〜∞] P(A_n) が成り立つことを示せばよい。このことは、 ＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension ＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem. から先の部分で示されれている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/453
454: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:21:36.51 ID:sIOgpcGr 以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、 その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。 これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる： 任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) が成り立つ。 ↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/454
455: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:22:09.76 ID:sIOgpcGr 最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を 適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。 文献に関しては以上。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/455
456: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:26:12.07 ID:sIOgpcGr >>440 ＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？ ＞ それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい スレ主、可算無限直積 確率空間を全く知らないことが露呈。 コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、 当の本人はこんなことも理解してないという有様。 確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。 それを「知らない」時点でお里が知れる。 先行文献は上に挙げたとおり。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/456
457: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:26:57.51 ID:sIOgpcGr >>440 ＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という ＞ しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？ 存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。 ＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” ＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ ＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ ＞ 「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ スレ主、可算無限直積 確率空間という普通の確率空間をインチキ認定するという暴挙に出るｗ トンデモはここが限界なんだろうな。 さすがにバカでしょこれ。呆れて何も言えないよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/457
458: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:28:40.40 ID:sIOgpcGr スレ主が大好きな ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、 ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、 ・ 写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への 可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。 ・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。 ・ 各 X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 という3つの条件を全て満たしていることになる。そのような確率空間(Ω, F, P)が存在することになる。 というより、そのような(Ω, F, P)が存在しなければ、対応する ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) は確率論的には定義不可能ということになってしまう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/458
459: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:36:28.60 ID:sIOgpcGr X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、 そして、X_1：Ω→[0,1] を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。 X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、 X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1]) と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、 各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 X_1は[0,1]^2の第一成分を取り出すという射影であり、 X_2は[0,1]^2の第二成分を取り出すという射影である。 「独立同分布」における「独立」の部分を担保しているのが、 この「第 i 成分を取り出す射影である」という性質である (厳密には、確率測度が直積測度として与えられていることも重要だが)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/459
460: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:38:03.05 ID:sIOgpcGr 有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、 そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。 こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、 X_1〜X_n の場合に必要だった確率空間は、 ([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、 という構図になっている。 つまり、X_1〜X_n の個数を増やしても、単に([0,1],F_1,μ_1)の積を考えていけば、 「iid 確率変数」の存在性を担保する確率空間(Ω,F,P)が実現できるという構図になっている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/460
461: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:39:12.74 ID:sIOgpcGr では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？ 実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。 つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。 そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。 (よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。) こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、 各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/461
462: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:39:55.41 ID:sIOgpcGr このように、スレ主が大好きな ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、 当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、 ＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” ＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ ＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ ＞ 「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ こんなことを言ってインチキ認定している。話にならない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/462
486: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 23:59:55.64 ID:sIOgpcGr >>485 ＞あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ ＞あなたの議論は面白いが、下記 ＞カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である” ＞とある 横やりだが、 > ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが > 一方で非可算個の元が必要 > したがって0という一点には潰せない この議論で言っていることは「もし1点に潰せるなら V は1点集合だが、 実際には V は非可算無限なので矛盾。すなわち、V は1点には潰せない」 という意味だろう。何も間違ってない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/486
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