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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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488: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 00:16:40.69 ID:VMeEIdTW >>468 ＞ ”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよね？！！ｗ 「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A とするとき、 A は非可測であることを既に証明した。特に、P(A) が定義できない。言い換えれば、 「焦点となっている箱の中身の推測に成功する確率」 は定義できない。この確率が定義できないので、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 「Aが非可測なんてウソだ。Aは可測だ」 と主張するのなら、P(A)＝P^*(A)≧99/100 すなわち P(A)≧99/100 となるので、 「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する確率は 99/100 以上」になる。 いずれにしても、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/488
490: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 00:21:20.56 ID:VMeEIdTW ＞ ”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよね？！！ｗ あるいは、次のような言い方もできる。 回答者が常に 1 番目の箱の中身を推測するのであれば、たとえ選択公理を経由した アルゴリズムを使用しても、おそらく箱の中身の推測に成功する確率は不変であろう。 回答者が常に 2022 番目の箱の中身を推測した場合も同様だろう。 このように、回答者が常に何らかの固定された番号の箱の中身を推測するのであれば、 おそらく箱の中身の推測に成功する確率は不変であろう。 実際には、回答者が推測する箱の番号は、出題者が出題した実数列 s によって変化する。 出題者が s を出題し、回答者が 1,2…,100 から番号 i を選んだときに推測することになる 「箱の番号」を p_{s,i} と書くことにすると、この p_{s,i} は (s,i) に応じて変化する。 従って、写像 p：[0,1]^N×{1,2,…,100} → N が定義されたことになるわけだが、 >>293-294 の確率空間(Ω,F,P) について Ω＝[0,1]^N×{1,2,…,100} なので、 結局、写像 p：Ω → N∪{0} が定義されたことになる。 実は、この写像 p は可測空間(Ω,F)から可測空間 (N,B_1) (もちろんB_1は通常のボレルσ集合体) への写像として非可測であることが証明できる。 そのような非可測な p を用いて「回答者は p_{s,i} 番目の箱の中身を推測する 」ときに、 出題者が用いた iid は崩れ去るという構図だ。 これは、バナッハ・タルスキーのパラドックスにおいて、 球を分割したときに体積の保存性が崩れ去るのと似ている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/490
491: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 00:27:19.56 ID:VMeEIdTW >>489 ＞意味分からんｗ ＞１）”1点に潰せる”の定義は？ 本題とは無関係なのであまり続けても意味はないが、 1点に潰せるとは「 V として1点集合が取れる 」という意味だと解釈した。 これが位相幾何だと「(1点に)可縮」の凝った定義があったりするが、 今回は測度論、しかも V は非可測集合なので、ただ単に 「 V として1点集合が取れる 」という意味だと解釈した。 それ以外の意味で用いているなら、どういう意味で潰せると書いたのか本人に聞けばいい。 というか、本人来ないね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/491
492: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:19:26.34 ID:VMeEIdTW >>490について、より詳しく書いておく。 復習しておくと、回答者は1つの箱を残して全ての箱を開封し、 その情報をもとに、残った1つの箱の中身を推測するのだった。 出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、 回答者が最後まで残しておく箱の「番号」を p_{s,i} と表記する。 p_{s,i} は (s,i) によって変化する。 つまり、回答者が最後まで残しておく箱は毎回固定なのではなく、 出題者の出題と回答者の行動で変化する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/492
493: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:22:31.98 ID:VMeEIdTW 次に、箱の番号づけについて確認しておく。 まず、可算無限個の箱が1列に並んでいる。番号 i の箱を box[i] と表記する(i≧1)。 出題者は s＝(s_1,s_2,…)∈[0,1]^N を選び、各 s_i を box[i] に詰める。すると、 ・ box[i] に入っている実数は s_i である ということになる。この後、箱を100列に分解して、「i列目のk番目の箱」という形で 新しい番号づけを与えるわけだが、それは(i,k)と書かれたシールを対応する箱の上に ペタッと貼り付けているだけであり、もともとの ・ box[i] に入っている実数は s_i である という対応関係はそのまま保存されている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/493
494: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:23:15.04 ID:VMeEIdTW さて、回答者は何らかの box[k] を最後まで残しておき、 「 box[k] の中身は x である」 という形で推測を行う。box[k] の中身は s_k なので、この推測が当たるのは 「 box[k] の中身は s_k である」 と推測したときのみである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/494
495: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:23:49.28 ID:VMeEIdTW ところで、出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、 回答者が最後まで残しておく箱の「番号」は p_{s,i} なのだった。よって、回答者は 「 box[ p_{s,i} ] の中身は x である」 という形の推測を行うことになる。この推測が当たるのは、 「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」 と推測したときのみである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/495
496: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:25:33.47 ID:VMeEIdTW ここまでを前提として、本題に移る。p_{s,i} はどんな性質を持っているのかを考察してみると、 ・ 出題者が出題した実数列 s と、回答者が選んだ i ごとに、 「なぜか推測しやすい箱」が存在していて、その箱の番号を指しているのが p_{s,i} である ということになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/496
497: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:28:38.61 ID:VMeEIdTW たとえば、s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在ない場合を考える。 この場合、回答者は 1,2,…,100 からどの番号 i を選んでも箱の中身の推測に成功する。 つまり、回答者が番号 i を選んだとき、回答者は 「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」 と推測することになり、この推測は当たっている。 この不思議な現象が、回答者がどんな i∈{1,2,…,100} を選んでも成り立つ (なんたって、s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在しないので)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/497
498: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:31:06.54 ID:VMeEIdTW s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在する場合には、 100個の i のうち99個の i に対する p_{s,i} に対して同じ現象が起こり、回答者は 「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」 と推測することになり、この推測は当たる。結局のところ、 ・ 出題者が出題した実数列 s と、回答者が選んだ i ごとに、 「なぜか推測しやすい箱」が存在していて、その箱の番号を指しているのが p_{s,i} である ということになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/498
499: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:38:54.43 ID:VMeEIdTW しかし、箱の番号 p_{s,i} だけ指定されても、それだけでは箱の中身が推測できるわけがない。 残りのタネはどこにあるのか？・・・言うまでもないが、それこそが完全代表系 T_0 である。 完全代表系 T_0 には、出題者が出題する実数列に対する大きなヒントが全て網羅されている。 回答者は、この情報を使っている。実際、完全代表系 T_0 から取り出した 代表 t の情報をもとにして、箱の中身の値を推測しているのが時枝記事である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/499
500: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:41:55.98 ID:VMeEIdTW より具体的に言うと、出題者が s を出題するごとに、可算無限個の箱の中から 「 T_0 のヒントが有効に使える箱 」 が最低でも99箇所存在しており、それらの箱の番号を指しているのが p_{s,i} (1≦i≦100) ということになる。だからこそ、番号 p_{s,i} の箱の中身は "推測しやすい" のである。 そして、回答者がそんな戦術を使ってしまったら、出題者の iid は当然ながら崩れ去る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/500
501: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 02:48:56.68 ID:VMeEIdTW まとめると、次のようになる。 ・ 回答者は完全代表系 T_0 を所持している。 ・ この T_0 には、それぞれの出題に対する大きなヒントが全て網羅されている。 ・ 回答者は1つの箱を残して全ての箱を開封し、その情報(そして T_0 の情報)をもとに、 残った1つの箱の中身を推測する。 ・ 出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、 回答者が最後まで残しておく箱の「番号」を p_{s,i} と表記する。 ・ 出題者が s を出題するごとに、可算無限個の箱の中から「 T_0 のヒントが有効に使える箱 」 が最低でも99箇所存在している。それらの箱の番号が p_{s,i} (1≦i≦100) になっている。 ・ つまり、番号 p_{s,i} の箱の中身は "推測しやすい" という状況になっている。 ・ 回答者がそんな戦術を使ってしまったら、出題者の iid は崩れ去る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/501
518: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 12:42:00.51 ID:VMeEIdTW >>510 ＞「iid は崩れ去る」？ｗ ＞意味わからん！ｗｗｗｗｗｗｗ iid だから回答者の勝率はゼロのはずなのに、 「回答者の勝率はゼロは不成立」 が言えてしまうことを「iid が崩れ去る」と表現した。 まあ、あまり表現は良くなかったかもな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/518
519: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 12:43:53.59 ID:VMeEIdTW 話を整理しよう。スレ主は「 iid に出題するのだから、回答者の勝率はゼロだ」と主張している。 しかし、それは間違っている。その理由を簡単に再掲すると、次のようになる。 ・ 回答者は T_0 という大きなヒントを所持している。 ・ 出題者が s を出題するごとに、可算無限個の箱の中から「 T_0 のヒントが有効に使える箱 」 が最低でも99箇所存在している。それらの箱の番号が p_{s,i} (1≦i≦100) になっている。 ・ つまり、番号 p_{s,i} の箱の中身は "推測しやすい" という状況になっている。 ・ そして、回答者は番号 p_{s,i} の箱の中身を推測する。この箱の中身は推測しやすいのだった。 ・ たとえば、s から出力される100個の決定番号に単独最大値がない場合、 回答者は 1,2,…,100 からどの番号 i を選んで時枝戦術を実行しても、必ず推測に成功する。 ・ このような仕組みにより、「回答者の勝率はゼロ」は不成立となる。つまり、スレ主が間違っている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/519
521: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 12:49:14.99 ID:VMeEIdTW >>519 この仕組みは、もともとの時枝記事の設定(出題が固定)の場合は明確に機能する。 つまり、時枝記事は正しい。 また、出題する実数列を「有限種類」にした場合でも機能する。 たとえば、3種類の実数列 s_1, s_2, s_3 があって、 ・ s_1 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない ・ s_2 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない ・ s_3 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在する とする。出題者が s_1 を出題した回では、出題者は必ず負けることに注意せよ。 出題者が s_2 を出題した回でも、出題者は必ず負けることに注意せよ。 ・ 出題者が s_1, s_2 の2種類から毎回ランダムに選んで出題したとき、 回答者の勝率は 1 である。 ・ 出題者が s_1, s_2, s_3 の3種類から毎回ランダムに選んで出題したとき、 回答者の勝率は (2/3) * 1 ＋ (1/3) * 99/100 以上である。 このように、回答者の勝率はゼロにならない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/521
522: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 12:52:28.34 ID:VMeEIdTW では、出題する実数列を [0,1]^N 全体からランダムに選んだ場合はどうなるか？ この場合、事象の非可測性に阻まれて、確率が定義できないという状況に陥る。 そして、確率が定義できないので、「回答者の勝率はゼロ」は不成立となる。 これは>>488で書いたとおりだが、一応、再掲しておく↓ 「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A とするとき、 A は非可測であることを既に証明した。特に、P(A) が定義できない。言い換えれば、 「焦点となっている箱の中身の推測に成功する確率」 は定義できない。この確率が定義できないので、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 「Aが非可測なんてウソだ。Aは可測だ」 と主張するのなら、P(A)＝P^*(A)≧99/100 すなわち P(A)≧99/100 となるので、 「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する確率は 99/100 以上」になる。 いずれにしても、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/522
527: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 21:43:28.53 ID:VMeEIdTW >>525 ＞１）”iid”から、理解が歪んでいる ＞ ”iid”で、 ＞ コイントスなら1/2 ＞ サイコロなら1/6 ＞ となる。ゼロではない！ ＞ 勿論、区間[0,1]のピンポイント的中なら0 ＞ ですけど 何も歪んでいない。今回はサイコロの話をしているのではなく、 ランダム時枝ゲームの話をしていて、そこでは [0,1] が主役なのだから、 文脈上、当然ながら[0,1]のピンポイント的中のことを言っているのである。 その場合、iid なら回答者の勝率はゼロのはず。 しかし、実際には非可測なので確率が定義できない。よって、「回答者の勝率はゼロ」は不成立。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/527
528: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 22:04:07.88 ID:VMeEIdTW >>525 ＞ a)普通は、どちらかが間違っている可能性大 ＞（今回は、これであって、時枝氏が間違っている！） もともとの時枝記事では出題は固定。 その固定された出題に対して、回答者が時枝戦術を何度もテストする。 その結果、回答者の勝率は 99/100 以上となる。これは正しい。どこにも間違いはない。 ここで、出題の仕方を「固定」から「ランダム」に変更すると、 もはや時枝記事とは関係がなくなってしまうが、 それはそれで独立した話題として意味があるので、 ちゃんと論じることは可能である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/528
529: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 22:05:57.04 ID:VMeEIdTW 試しに、「出題は固定」を少し緩めて、「有限種類の実数列から出題」に変更してみる。 ここでは、3種類の実数列 s_1, s_2, s_3 があって、 ・ s_1 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない ・ s_2 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない ・ s_3 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在する とする。このとき、出題者が s_1, s_2 の2種類から毎回ランダムに選んで出題した場合には、 回答者の勝率は 1 である。また、出題者が s_1, s_2, s_3 の3種類から毎回ランダムに選んで 出題した場合には、回答者の勝率は (2/3) * 1 ＋ (1/3) * 99/100 以上である。 このように、「有限種類の実数列から出題する」という設定でも、回答者の勝率は 99/100 以上になる。 ちなみにスレ主、この例については一度も返答レスをつけたことがない。 あまりにも都合が悪すぎて何も言えないのだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/529
530: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 22:06:49.48 ID:VMeEIdTW では、出題する実数列を [0,1]^N 全体からランダムに選んだ場合はどうなるか？ まさにこれを「ランダム時枝ゲーム」(>>290-292)と呼んでいるのだった。 そして、ランダム時枝ゲームで回答者が勝利するという事象を A とするとき、 A は非可測であることを既に証明した。よって、P(A) が定義できないので、 「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。ここでスレ主は 「Aが非可測なんてウソだ。Aは可測だ」 と主張するかもしれないが、その場合は P(A)＝P^*(A)≧99/100 すなわち P(A)≧99/100 となるので、「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する確率は 99/100 以上」になる。 いずれにしても、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/530
531: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 22:11:00.60 ID:VMeEIdTW まとめると、次のようになっている。 ・ もともとの時枝記事(出題は固定)では、回答者の勝率は 99/100 以上である。これは正しい。 ・ 出題の仕方を「固定」から「ランダム」に変更すると、 もともとの時枝記事とは関係なくなってしまうが、独立した話題としては意味がある。 ・ 試しに、「有限種類の実数列から出題」に変更してみると、 これでも回答者の勝率は 99/100 以上になる。(>>529) ・ 出題する実数列を [0,1]^N 全体からランダムに選んだ場合、 すなわち「ランダム時枝ゲーム」の場合だと、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。(>>530) このように、出題の仕方をどのように変更してみても、 「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。 これが現実。スレ主の詰み。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/531
533: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/02(水) 23:57:55.21 ID:VMeEIdTW >>532 ＞ちがう ＞・[0,1] が主役なのは、>>2のSergiu Hart氏のRemark game1の話だ ＞・時枝>>1では、(-∞、+∞)∈Ｒ つまり、実数ならなんでもありの話だ それこそ違う。今は「ランダム時枝ゲーム」の話をしているのだから、主役は [0,1] である。 従って、スレ主が本当にツッコミを入れなければならないのは、 「なぜランダム時枝ゲームの主役を [0,1] にしてしまったのか？」 ということである。しかし、これについては>>426で反論済み。 もともとの時枝記事では、R 全体から好きな実数を選んでよいことになっているが、 一度選んだ実数列は固定であり、回答者はその固定された出題に対して 何度も時枝戦術をテストする、という構図である。 これが気に食わないスレ主は、「出題をランダムにしろ」と要求しているわけである。 ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような 「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」 は不可能。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/533
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