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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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440: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 08:06:51.70 ID:+emxAWt1 >>438 (引用開始) μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる： 任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、 A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる) という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。 すなわち、上記の集合に対して μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。 (引用終り) ご苦労さまです 少し質問しよう １）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？ それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい ２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？ ３）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” は、コルモゴロフの確率公理を満たすか？ 特に、全事象Ωの確率を1とできるか？ ４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1～d100を含む部分,残りに無限のしっぽ 「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ 上記３）の問いのように、”コルモゴロフの確率公理を満たすか？”、”全事象Ωの確率を1とできるか？” がクリアできていない場合、先頭の有限部分だけ使いましたって、なってませんか？ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/440
478: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:06:04.63 ID:+emxAWt1 タイポ訂正 >>471 Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？ ↓ Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場を聞きたい >>474 なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） ↓ なお、ソロヴェイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/478
479: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:27:40.86 ID:+emxAWt1 >>467 さて 質問への回答は、>>467-468に書いたよ そこで、関連で追加の質問をします 時枝氏の記事>>1の関連>>55より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/404 さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある 「R^N/～; の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている. その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」 さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する 「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない. しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う. (引用終り) これで １）”その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである” ここの陳述で、ヴィタリ集合については、>>467-468に書いた通りだが つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/479
480: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 21:28:39.58 ID:+emxAWt1 >>479 つづき ２）このヴィタリの非可測証明とパラレルに考えると a)”１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること”>>474 について、相当するR^Nのルベーグ測度は何だろう？ あなたは、”>>438は単なる積測度の定義 数学科の学生なら必修”>>442 だったね Rのルベーグ測度の直積を作れば、即 R^Nのルベーグ測度になるのかな？ b)”２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること”>>474 について、R^N/～がR/Qとパラレルにできる？ つまり、"/Q"に相当する元がR^N中に取れる？ さらに、断面[0,1]はどうか？ [0,1]^Nかね？ まさかねｗ 商は、"/Q"ではなく"/～"だよね。そして、”[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動”はどうする？ ”可算無限和Σλ(V）”に相当する部分はどこなのか？ ここらを曖昧にして、腰だめで、時枝氏は”そっくりである”と書いているよね（突っ込みどころ満載だけど） 勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが （注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ） どう思います？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/480
484: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 23:34:06.88 ID:+emxAWt1 >>474 誤変換訂正と補足 ＜誤変換訂正＞ ２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること ↓ ２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること 注）普遍→不変 ＜補足＞ > 1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う） ここは、下記に詳しいので引用する (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set Vitali set Non-measurability [0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2]. To see the first inclusion, consider any real number r in [0,1] and let v be the representative in V for the equivalence class [r]; then r-v=qi for some rational number qi in [-1,1] which implies that r is in Vi. google訳(少し手直し) [0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2]. 最初の包含関係を見るために、 [0,1] の任意の実数 r を考え、v を V中で 同値類 [r] の代表とする； そうすると[-1,1] 内のある有理数 qi に対して r-v=qi とできて、これは、r が Vi 内にあることを意味する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/484
485: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 23:48:06.34 ID:+emxAWt1 >>476 > ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが > 一方で非可算個の元が必要 > したがって0という一点には潰せない あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ あなたの議論は面白いが、下記 カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である” とある なので、「非可算個の元（or 点）があるから、ルベーグ測度は 0ではない」には、 反例があるみたいだなｗ （カントール集合を１点に潰すのは無理と思うよ、多分なｗ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合 フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。 性質 カントール集合はフラクタル図形の一種で自己相似性を持つ。フラクタル次元の一つであるハウスドルフ次元は log 2?/?log 3 (= 0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ[17]。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。 測度と確率 カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる。他方、三進集合への自然な埋め込みでは特異測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。 ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/485
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