スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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63: １３２人目の素数さん [] 2022/10/24(月) 20:55:33.03 ID:/NL28vFA

>>58
>”時枝さん、大丈夫？ ”非可測集合”のこと、理解して書いている？”
>と、つい思ってしまうなｗ

＜ヴィタリ集合補足＞
１）ヴィタリ集合の非可測性の集合についての証明について、下記英文のwikipediaに詳しい
２）つまり、ヴィタリ集合Vを区間[-1,1]の有理数を全部挙げて、平行移動した集合から
　[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2]とできる
３）つまり、集合和 ∪k V_k には、区間[0,1]が含まれ（下記英文）、これは可測集合である
４）まとめると、非可測たるヴィタリ集合Vを可算個集めると、その中に（可測集合）区間[0,1]を含ませることができるし
　ヴィタリ集合Vは、（可測集合）区間[0,1]に含まれるし
　そして、もちろんヴィタリ集合Vの可算個の元を集めれば、それは可測である
５）よって、ヴィタリ集合Vは、それ全体として非可測なのであって、
　ヴィタリ集合Vを含む可測集合を構成可能であり、また、ヴィタリ集合の一部なら、可算部分なら可測だよ！

こんな事情なので、時枝氏の「選択公理や非可測集合を経由したからお手つき！」>>55
だなんて、果たして、時枝氏は、これで「何を言いたかったの」かな？ｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Non-measurability
A Vitali set is non-measurable. To show this, we assume that V is measurable and we derive a contradiction.
Let q_1,q_2,・・・ be an enumeration of the rational numbers in [-1,1] (recall that the rational numbers are countable).
From the construction of V, note that the translated sets V_k=V+q_k={v+q_k:v∈ V}, k=1,2,・・・  are pairwise disjoint, and further note that
[0,1]⊆ ∪k V_k⊆ [-1,2].
To see the first inclusion, consider any real number r in [0,1] and let v be the representative in V for the equivalence class [r]; then  r-v=q_i for some rational number q_i in [-1,1] which implies that r is in V_i.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/63

431: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:57:37.03 ID:vpuiD3x9

>>402
>今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。
>両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。
>すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、

意味わからんけど
１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える
　2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・
　なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ）
２）一方で、無限次ベクトル (a,a,・・,a,・・)を考えると
　このベクトルの長さLは、通常の成分の2乗を開平だとして
　L=√(Σn=1～∞ a^2)→∞ （∵ a≠0 ）つまり発散するよ
３）だから、[0,1]^Nの空間に計量を入れて扱おうとするならば、
　通常の1次元ルベーグ測度 [0,1] とは、違う測度にしないと、どうにもならん気がするけど？
　だからのヒルベルト空間でしょ？
（最初から、ベクトルの長さが定義できる素性の良いところに限定するんだよ）
４）そもそも、下記ヴィタリ集合の非可測性は、
　実数Rに与えられたルベーグ測度をベースに論じて
　その上で非可測性を示すよね
５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、
　どういう測度を与えるのか？
　そこをしっかりしないと、上滑りの”可測、非可測”の議論になるよ
　
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。
重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。
構成と証明
これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/431

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