[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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554: 2022/11/03(木)09:18 ID:8HW9bynv(2/22) AAS
>>526
次に524　２）の反例
定理２　各項が1>a_n>0を満たすとき
　　　　Π(n=1~∞)(1-a_n)＞０　⇔　Σ(n=1~∞)a_n＜∞

証明　級数が発散する場合は
Π(n=1~N)(1-a_n)　＜　exp(-Σ(n=1~N)a_n)
であるから、部分積が0に収束することにより、無限乗積も０に「発散」する
級数が収束するときは、部分和が減少列であるから、下から押さえられることを示せばよい。
あるNが存在して
a_n ＜ 1/2, n ≧ N
となる。このとき次が成り立つ。
1/(1 + 2 a_n)≦ 1 − a_n, n ≧ N
級数が収束することから
2?(n=1~N)a_n=?(n=1~N)2a_n
も収束し
したがって
∏(n = 1~∞)(1 + 2 a_n)
も収束する。
ゆえに部分積には下限∏(n = 1~∞)1/(1 + 2 a_n)があり、
（0より大きな値に）収束する。

ま、上記の証明をトレースしなくても、例えば
a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら
1>exp(-a_n)だが、その無限乗積exp(-Σ(n=1~∞)a_n)は有限値

はい、二回死んだ！ｗ　大学2年の微積分再履修も落第ね　🐎🦌

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