[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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50(2): 2022/10/23(日)20:58 ID:P+OAB88L(8/9) AAS
R[x]上のσ集合体 F であって、任意の a∈R に対して { f(x)∈R[x]｜deg f(x)＜a } ∈ F
が成り立つものを任意に取る。そして、確率測度 P：F → [0,1] を任意に取る。
この時点で、確率空間 (R[x], F, P) が得られている。
この確率空間100個の積空間を (R[x]^100, F_100, P_100) と置く。
この確率空間に基づいて、R[x]^100 から100個の多項式をランダムに選ぶことにする。
選んだ100個の多項式の次数が全て m 未満であるという事象を A_m と置く。明らかに、

A_m ＝ { (f_1(x),…,f_100(x))∈R[x]^100｜deg f_i(x) ＜ m (1≦i≦100) }

と書ける。F の仮定から、A_m∈F_100 が成り立つことが示せる。
特に、その確率 P_100(A_m) が定義できる。A_m は m に関して狭義単調増加であり、
かつ ∪[m＝1〜∞] A_m ＝ R[x]^100 なので、確率測度の上への連続性から、
lim[m→∞] P_100(A_m) ＝ 1 が成り立つ。すなわち、

lim[m→∞] (選んだ100個の多項式の次数が全て m 未満である確率) ＝ 1

が成り立つ。ところが、スレ主のおバカな屁理屈によれば、"超体積" はゼロであるらしいので、

lim[m→∞] (選んだ100個の多項式の次数が全て m 未満である確率) ＝ 0

となってしまう。ここがスレ主の限界。

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