[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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400: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:47:47.22 ID:V6kL7bYX 定理：任意の A⊂[0,1)^N に対して、μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) かつ μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。 証明：A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) を示す。 A⊂B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊂ [0,1)B∈F_N なので、 μ_N^*([0,1)A) ≦ μ_N^*([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊂B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の inf を取れば、 μ_N^*([0,1)A)≦μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B を任意にとる。 任意の x∈[0,1) に対して、[0,1)A 及び B の x での断面を考えれば、 ([0,1)A)_x ⊂ B_x である。([0,1)A)_x ＝ A なので、A ⊂ B_x である。両辺の μ_N^*() を考えれば、 μ_N^*(A) ≦ μ_N^*(B_x)＝μ_N(B_x) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y) dμ_N(y) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) である。これが任意の x∈[0,1) で言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/400

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