[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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375: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:40:46.09 ID:V6kL7bYX 一般に、測度空間 (X,F,m)が与えられたとき、その完備化を (X,F_w,m_w) と書くことにする。 補題：(X_i,F_i,m_i) (i＝1,2)は有限測度空間で、(X,F,m)はその積空間とする。よって、 X＝X_1×X_2,　F ＝ ( {A_1×A_2｜A_i∈F_i} から生成される最小のσ集合体 ),　m＝(m_1とm_2の積測度) である。このとき、次が成り立つ。 (1) A∈F を任意に取るとき、任意の x_1∈X_1 に対して、A の x_1 での断面 A_{x_1} は A_{x_1}∈F_2 を満たす。すなわち、A が可測なら、任意の x_1∈X_1 に対して断面 A_{x_1} は可測である。 (3) (X,F,m) の完備化は (X, F_w, m_w) と書かれるのだった。 同様に、(X_2,F_2,m_2) の完備化は (X_2, F_{2w}, m_{2w}) と書かれるのだった。 ここで、A∈F_w を任意に取る。このとき、m_1,a.e.x_1∈X_1 に対して、 A の x_1 での断面 A_{x_1} は A_{x_1}∈F_{2w} を満たす。 すなわち、完備化された X の空間の中で A が可測なら、ほとんど至るところの x_1∈X_1 に対して、 断面 A_{x_1} は完備化された X_2 の空間の中で可測である。 この補題は基本的な事実なので、証明は省略する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/375

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