[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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382: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 14:58:53.23 ID:V6kL7bYX 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、 積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は (Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、 (Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。 B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 そこで、z∈Y_99−M を1つ取って固定する。z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})と表せる。 この z^{0},z^{1},…,z^{98} に対して、k＝max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と置く。すると、 B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦k } ＝ (d≦k) である。よって、(d≦k)∈F_{Nw} ということになる。 しかし、d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 以上により、A は非可測である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/382

383: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 15:09:16.34 ID:V6kL7bYX 補足。>>376では ＞ n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。 という、若干 意味が取りづらい表現をしてしまったが、>>382で書いているように、 ・ 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間を (Y_n,E_n,α_n) と書く という意味のつもりである。たとえば、Y_n を明示的に書くと Y_n ＝ [0,1]^N × [0,1]^N × … × [0,1]^N　( [0,1]^N がn個ある直積) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/383

384: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 15:09:51.67 ID:Rh3Q9O/g >>382 >d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 　え、その証明はしないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/384

385: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 16:13:00.02 ID:V6kL7bYX >>384 そこはさすがに前提知識(それほど簡単に示せるわけでもないが)。 まあ、スレ主が要求してきたら書く。 スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/385

386: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 20:54:55.60 ID:vpuiD3x9 >>384-385 >>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 >　え、その証明はしないの？ >まあ、スレ主が要求してきたら書く。 >スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。 １）ID:Rh3Q9O/g氏が、要求しているんだから、証明を示せよ 　よって、私スレ主は証明を要求する！ｗ ２）まあ、あんまし読む気は無いが、証明よろしくね 　ID:Rh3Q9O/g氏が、証明を突いてくれることを期待している ３）正直、 　”d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので” 　に使われている記号を、追っていないから、この文の意味が取れない ４）まあ、書かれた証明を、ID:Rh3Q9O/g氏が、突くならば 　分かってくるかもｗ 証明よろしくね！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/386

387: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 21:54:19.54 ID:pHXtLONI >>261 >>278にレスがないので、 あなたには http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない ということでよろしいか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/387

388: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:11:24.50 ID:V6kL7bYX >>386 ＞３）正直、 ＞　”d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので” ＞　に使われている記号を、追っていないから、この文の意味が取れない d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/397-402 また、(d≦k)は (d≦k)：＝ { s∈[0,1]^N｜d(s)≦k } として定義される集合。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/388

389: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:17:15.11 ID:V6kL7bYX ＞２）まあ、あんまし読む気は無いが、証明よろしくね ＞　ID:Rh3Q9O/g氏が、証明を突いてくれることを期待している これも釘を刺しておくが、(d≦k)の非可測性に関する証明は、予想したより遥かに分量が大きくなった。 おそらく、スレ主は読まない。 別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。 ただし、その時点でスレ主の詰みが確定する。 よって、スレ主が>371-372を受け入れない場合、スレ主は下記の(長い)証明を読まなければならない。 証明も読まず、>371-372も受け入れないという態度を取った場合、 スレ主は議論を放棄したことになるので、その時点でスレ主の詰みが確定する。 ・・・と、予め釘を刺しておく。 ちなみに、あまりにも長文なので、途中で5chの制限に引っかかって 投稿が中断される可能性があることを注意しておく。この場合、残りの投稿は後日ということになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/389

390: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:20:56.64 ID:V6kL7bYX では、(d≦k) が非可測であることを証明する。・・・のだが、今までは「箱の中身がサイコロ」のような 離散的な場合しかやったことがなかったので、想定外の事態が起きた。 箱の中身がサイコロの場合、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測であることが示せるのだが、 「箱の中身が0以上1以下の実数」という今回のケースでは、 (☆)「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測」 までしか言えなかった。しかも、完全代表系 T の取り方によっては、 残りの有限個の k で (d≦k) がゼロ集合(よって可測集合)になる場合が 実際に起こることが判明した。 よって、Aの非可測性の証明も、(☆)を用いた証明として修正が必要になる。それはもちろん後回しで、 まずは、(☆)の証明から始める。 以下では、s∈[0,1]^N の添え字は 0 から始めることにする。よって、s＝(s_0,s_1,…) と書ける。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/390

391: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:25:27.84 ID:V6kL7bYX まずは、(有限)測度から生成される内測度について触れておく。 定義：(X,F,ν)は有限測度空間とする。A⊂X に対して、 ν_*(A)：＝ sup{ ν(B)｜A⊃B∈F } として ν_*：pow(X) → [0,＋∞) を定義する。この ν_* のことを、νから生成される内測度と呼ぶ。 A∈F のときは、ν_*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。 また、任意の A⊂X に対して 0≦ν_*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つことに注意せよ。 ちなみに、このν_* は、「内測度」と名付けられているだけあって、 実際に内測度の性質を満たす。すなわち、次が成り立つ。 ・ν_*(φ)＝0. ・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B). ・ A_n⊂X (n≧1) が広義単調減少ならば、A＝∩[n＝1〜∞] A_n と置くとき、lim[n→∞] ν_*(A_n) ＝ ν_*(A). これらの証明は省略する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/391

392: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:32:30.23 ID:V6kL7bYX 以下の定理は、証明は全て省略する。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。νから生成される外測度 ν^* と内測度 ν_*について、 ν_*(X−A)＝ν(X)−ν^*(A) (∀A⊂X) が成り立つ。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。 このとき、A⊂X に対して、A∈F_w が成り立つことと ν^*(A)＝ν_*(A) が成り立つことは同値である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。 よって、νから生成される外測度 ν^* と、ν_w から生成される外測度 ν_w^* の2種類を得るが、 実は ν^*(A)＝ν_w^*(A) (∀A⊂X) である。すなわち、ν^* ＝ ν_w^* である。 同じく、νから生成される内測度 ν_* と、ν_w から生成される内測度 ν_{w*} の2種類を得るが、 やはり ν_* ＝ ν_{w*} である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。 A⊂X に対して、ν^*(A)＝0 が成り立つことと [A∈F_w かつ ν_w(A)＝0] が成り立つことは同値である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M⊂X は ν^*(M)＝0 を満たすとする。 このとき、任意の A⊂X に対して ν^*(A−M) ＝ ν^*(A) である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M∈F は ν(M)＝ν(X) を満たすとする。 このとき、任意の A⊂X に対して、ν^*(A∩M) ＝ ν^*(A) かつ ν_*(A∩M) ＝ ν_*(A) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/392

393: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:34:04.66 ID:V6kL7bYX 定理：(X_i,F_i,ν_i) (i＝1,2) は有限測度空間とする。 (X,F,ν) はその積空間とする。(X,F_w,ν_w) はその完備化とする。 (1) M∈F は ν(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。 ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ¬((x_1,x_2)∈M). (2) M∈F_w は ν_w(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。 ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ¬((x_1,x_2)∈M). 証明は省略する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/393

394: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:35:03.73 ID:V6kL7bYX さて、任意の x,y ∈ [0,1) に対して、 x [+] y ：＝ x＋y (x＋y＜1), x＋y−1 (x＋y≧1) として二項演算 [+] を定義する。 このとき、( [0,1), [+], 0) は 0 を単位元とするアーベル群になることが分かる。 このアーベル群は、R 上での通常の足し算を「 mod 1 」で考えたものと同じ構造である。 次に、s,t ∈[0,1)^N に対して、s [+] t ∈ [0,1)^N を (s [+] t)_i ＝ s_i [+] t_i (i≧0) として定義する。( [0,1)^N, [+], o ) は o＝(0,0,0,…) を単位元とするアーベル群である。 次に、任意の A,B⊂[0,1)^N に対して、A [+] B ＝ { a [+] b｜a∈A, b∈B } と定義する。 A [+] B ⊂ [0,1)^N が成り立つことに注意せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/394

395: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:35:30.91 ID:V6kL7bYX 任意の c ∈ A [+] B に対して、唯一のペア (a,b) が存在して c ＝ a [+] b と表せるとき、 A [+] B は直和であると呼ぶ。同じことだが、 ∀a_1,a_2∈A, ∀b_1,b_2∈B s.t. a_1 [+] b_1 ＝ a_2 [+] b_2 ⇒ [ a_1＝a_2 かつ b_1＝b_2 ] が成り立つとき、A [+] B は直和であると呼ぶ。 次に、任意の A⊂[0,1)^N と任意の s∈[0,1)^N に対して、A [+] s ：＝ { t [+] s｜t∈A } と定義する。 A [+] s ⊂ [0,1)^N が成り立つことに注意せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/395

396: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:38:44.54 ID:V6kL7bYX 次に、s＝(s_0,s_1,s_2,…)∈[0,1]^N と k≧0 に対して、s^[k]：＝(s_k,s_{k＋1},s_{k＋2},…) と定義する(左シフト)。(s^[k])^[l] ＝ s^[k＋l] (k,l≧0)が成り立つことに注意せよ。 また、A⊂[0,1]^N と k≧0 に対して、 A^[k]：＝ { s^[k]｜s∈A } と定義する。A,B⊂[0,1)^N と k≧0 に対して (A [+] B)^[k] ＝ A^[k] [+] B^[k] が成り立つ。 また、A,B⊂[0,1]^N と k≧0 に対して(A∩B)^[k] ＝ A^[k]∩B^[k] が成り立つ。 また、A⊂B ならば、k≧0 に対して A^[k] ⊂ B^[k] が成り立つ。 また、k≧0 に対して ( [0,1)^N )^[k] ＝ [0,1)^N かつ ( [0,1]^N )^[k] ＝ [0,1]^N が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/396

397: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:39:52.90 ID:V6kL7bYX 次に、k≧1 として、u＝(u_0,u_1,…,u_{k-1})∈[0,1]^k と v＝(v_0,v_1,…)∈[0,1]^N に対して、 uv：＝ (u_0,u_1,…,u_{k-1},v_0,v_1,…) ∈ [0,1]^N として uv を定義する(uとvの連結)。さらに、A⊂[0,1]^k と B⊂[0,1]^N に対して AB：＝{uv｜u∈A, v∈B } と定義する。以下では、A＝[0,1)^k が使われることが多い。この場合、 [0,1)^k B ＝ { uv｜u∈[0,1)^k, v∈B } ということになる。 任意の A⊂[0,1)^N と k≧1 に対して、A ⊂ [0,1)^k A^[k] が成り立つことに注意せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/397

398: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:40:53.28 ID:V6kL7bYX 定理：μ_N( [0,1)^N ) ＝ 1 である。証明は省略する。 定理：A⊂[0,1)^N なる任意の A∈F_N と、任意の s∈[0,1)^N に対して、A [+] s ∈ F_N であり、 しかも μ_N(A [+] s)＝μ_N(A) である。また、任意の A⊂[0,1)^n と任意の s∈[0,1)^N に対して、 μ_N^*(A [+] s)＝μ_N^*(A), μ_{N*}(A [+] s)＝μ_{N*}(A) が成り立つ。証明は省略する。 定理：任意の A∈F_N と任意の k≧1 に対して、[0,1)^kA ∈ F_N かつ μ_N([0,1)^kA)＝μ_N(A) である。 さらに、[0,1]^kA ∈ F_N かつ μ_N([0,1]^kA)＝μ_N(A) も成り立つ。証明は省略する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/398

399: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:46:36.79 ID:V6kL7bYX 定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、 しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。 証明：A∈F_N に対して A^[k]∈F_N が成り立つことの証明は省略する。 次に、A∈F_N を任意に取る。μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)を示したい。 一般に (A^[k])^[l]＝A^[k＋l] なので、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) が示せれば十分である。 まず、A ⊂ [0,1]A^[1] が成り立つ。また、A, [0,1]A^[1]∈F_N である。よって、 μ_N(A) ≦ μ_N([0,1]A^[1]) であり、そして μ_N([0,1]A^[1])＝μ_N(A^[1]) である。 よって、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/399

400: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:47:47.22 ID:V6kL7bYX 定理：任意の A⊂[0,1)^N に対して、μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) かつ μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。 証明：A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) を示す。 A⊂B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊂ [0,1)B∈F_N なので、 μ_N^*([0,1)A) ≦ μ_N^*([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊂B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の inf を取れば、 μ_N^*([0,1)A)≦μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B を任意にとる。 任意の x∈[0,1) に対して、[0,1)A 及び B の x での断面を考えれば、 ([0,1)A)_x ⊂ B_x である。([0,1)A)_x ＝ A なので、A ⊂ B_x である。両辺の μ_N^*() を考えれば、 μ_N^*(A) ≦ μ_N^*(B_x)＝μ_N(B_x) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y) dμ_N(y) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) である。これが任意の x∈[0,1) で言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/400

401: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 22:51:48.04 ID:vpuiD3x9 >>387 >あなたには http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない >ということでよろしいか？ 不同意 １）決定番号は、非正則分布を成す ２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない ３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/401

402: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:52:44.04 ID:V6kL7bYX 今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。 両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。 すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、 μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1) } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1] } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x) ＝∫_{ [0,1]×[0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z) d(μ_N)(z) ＝μ_N(B) である。よって、μ_N^*(A) ≦μ_N(B) となった。[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B は任意だったから、 そのような B での inf を取れば、μ_N^*(A) ≦μ_N^*([0,1)A) である。 以上により、μ_N^*(A)＝μ_N^*([0,1)A) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/402

403: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 22:54:41.62 ID:NkNyx+A/ >>401 >不同意 じゃさっさと挙げろよｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/403

404: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:55:41.31 ID:V6kL7bYX 次は内測度の方を示す。A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。 A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、 μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、 μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。 両辺の ()^[1] を考えて、([0,1)A)^[1] ⊃ B^[1] である。([0,1)A)^[1] ＝ A なので、 A ⊃ B^[1] である。B^[1]∈F_N に注意して、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B^[1])＝μ_N(B^[1]) である。 そして、>>の定理からμ_N(B^[1])≧μ_N(B)である。よって、μ_{N*}(A)≧μ_N(B) となった。 [0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B は任意だったから、そのような B での sup を取れば、 μ_{N*}(A)≧μ_{N*}([0,1)A) である。以上により、μ_{N*}(A)＝μ_{N*}([0,1)A) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/404

405: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:56:39.51 ID:V6kL7bYX 次に、[0,1]^N の 〜 に関する完全代表系を1つ取って T と置く。 よって、決定番号の写像 d：[0,1]^N → N∪{0} が定義できる。 念のため書いておくと、次のようになる。 s∈[0,1]^N を任意に取る。ただ1つの t∈T が存在して s〜t が成り立つので、 ∃i_0≧0, ∀i≧i_0 s.t. s_i ＝ t_i が成り立つ。このような i_0≧0 には 最小値が存在する。その値を再び i_0≧0 と置く。この i_0 のことを d(s) と定義する。 こうして、s の決定番号 d(s) が定まり、よって写像 d：[0,1]^N → N∪{0} が決まる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/405

406: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:58:16.37 ID:V6kL7bYX 任意の k≧1 に対して、 (d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N) が成り立つことが確かめられる。特に、 μ_N^*((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_N^*([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_N^*(T^[k]∩[0,1)^N), μ_{N*}((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_{N*}([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_{N*}(T^[k]∩[0,1)^N) である。[0,1)^N∈F_N かつ μ_N([0,1)^N) ＝ 1 ＝ μ_N([0,1]^N)により、>>392の最後の定理が使えて μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]),　μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k]) である。(d≦k) ↑ [0,1]^N なので、μ_N^* の上への連続性(>>300の定理2)により lim[k→∞] μ_N^*(d≦k) ＝ 1 であり、よって lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/406

407: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 22:59:29.35 ID:vpuiD3x9 >>388 >d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。 ？ １）もともと時枝では、>>1より 「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい. 　もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.」 　だったよね？ ２）”どんな実数を入れるかはまったく自由”だから、(-∞、+∞)でしょ！！ｗ ３）e^πとかπって、それらがいつから区間[0,1]に入ることになったんだ？ｗ 　π＝3.14・・でしょｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/407

408: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:01:02.73 ID:V6kL7bYX 次に、μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0) が成り立つことを示す。まず、 Poly ＝ { s∈[0,1)^N｜有限個の i を除いて s_i＝0 } と置く。(Poly, [+], o) は [0,1)^N の部分アーベル群であることに注意せよ。 さらに、Poly^[k] ＝ Poly (k≧0) が成り立つことに注意せよ。 また、(Poly, [+], o) の加法 [+] に関する逆演算を [-] と置くとき、 任意の s,t∈[0,1)^N に対して、 s 〜 t ⇔ s [-] t ∈ Poly が成り立つことに注意せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/408

409: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:01:34.44 ID:V6kL7bYX この Poly について、 (T∩[0,1)^N) [+] Poly ＝ [0,1)^N が成り立つことが言える。さらに、T の性質から、左辺は直和であることが言える。 k≧0 として、両辺の ()^[k] を取ると、 (T∩[0,1)^N)^[k] [+] Poly^[k] ＝ [0,1)^N が成り立つわけだが、(T∩[0,1)^N)^[k] ＝ T^[k]∩[0,1)^N かつ Poly^[k] ＝ Poly により、 (T^[k]∩[0,1)^N) [+] Poly ＝ [0,1)^N である。実は、左辺は再び直和であることが示せる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/409

410: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:02:39.23 ID:V6kL7bYX さて、Poly は無限集合なので、異なる可算無限個の v_i∈Poly を取れば、 (T^[k]∩[0,1)^N) [+] Poly が直和であることから、 { (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i }_{i≧1} は互いに素である。ここで、B⊂T^[k]∩[0,1)^N なる B∈F_N を任意に取る。 すると、B [+] v_i ∈ F_N である。また、B [+] v_i ⊂ (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i により、 { B [+] v_i }_{i≧1} は互いに素である。また ∪[i＝1〜∞] (B [+] v_i) ⊂[0,1)^N である。 両辺の μ_N を考えると、 Σ[i＝1〜∞] μ_N(B [+] v_i) ≦ μ_N([0,1)^N) ＝ 1 である。さらに、μ_N(B [+] v_i) ＝ μ_N(A) である。よって、Σ[i＝1〜∞] μ_N(B) ≦ 1 となったので、μ_N(B)＝0 となるしかない。B ⊂T^[k]∩[0,1)^N なる B∈F_N は任意だったから、 μ_{N*}(T^[k]∩[0,1)^N)＝0 である。よって、μ_{N*}(T^[k])＝0 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/410

411: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:03:42.41 ID:V6kL7bYX 今の時点で、 ・ μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]),　μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k]), ・ lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1,　μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0) が得られている。特に、ある k_0≧1 が存在して、k≧k_0 のとき μ_N^*(T^[k]) ＞ 0 である。 よって、μ_N^*(T^[k]) ＞ μ_{N*}(T^[k]) (∀k≧k_0) である。すなわち、 μ_N^*(d≦k) ＞ μ_{N*}(d≦k)　(∀k≧k_0) である。([0,1]^N, F_N, μ_N) の完備化 ([0,1]^N, F_{Nw}, μ_{Nw}) について、 >>392の定理により μ_{Nw}^* ＝ μ_N^*, μ_{Nw*} ＝ μ_{N*} だから、 μ_{Nw}^*(d≦k) ＞ μ_{Nw*}(d≦k)　(∀k≧k_0) である。>>392の定理により、¬((d≦k) ∈ F_{Nw}) (∀k≧k_0) である。 すなわち、(d≦k) は k≧k_0 のとき非可測である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/411

412: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:04:35.98 ID:V6kL7bYX 補足：「 k≧k_0 のとき (d≦k) は非可測である」とは、 「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」という意味に他ならない。 では、残りの有限個の k に対しては、(d≦k) は可測なのか？それとも非可測なのか？ 実は、使用する完全代表系 T によっては、有限個の k に対して (d≦k) が ゼロ集合になるようにできる。この場合、それらの (d≦k) は可測になる。この意味において、 「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」 という主張は最良の結果である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/412

413: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:06:34.13 ID:V6kL7bYX 補足：以下では、有限個の k に対して (d≦k) が可測になる例を挙げておく。 U＝{s∈[0,1]^N｜s_0＝s_1＝s_2＝0 } ＝ {0}^3[0,1]^N と置く。[0,1]^N 上の同値関係 〜 をU上に導入すれば、〜 はそのまま U 上の同値関係になる。 U の〜に関する完全代表系を1つ取って T_0 と置くと、これは [0,1]^N 上の〜に関する 完全代表系にも なっていることが確かめられる。 この T_0 から決定番号の写像 d：[0,1]^N → N∪{0} を作った場合には、 (d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T_0^[k]∩[0,1)^N) (k≧1) をk＝2に対して適用すれば、 (d≦2)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^2(T_0^[2]∩[0,1)^N) ⊂ T_0^[2] ⊂ U^[2] ＝ {0}[0,1)^N なので、μ_{Nw}^*((d≦2)∩[0,1)^N) ≦ μ_{Nw}^*({0}[0,1]^N) ＝ 0 であり、 よってμ_{Nw}^*(d≦2)＝0 であり、完備性により (d≦2)∈F_{Nw} かつ μ_{Nw}(d≦2)＝0 となる。 すなわち、(d≦2) は可測となる。(d≦0) ⊂ (d≦1) ⊂ (d≦2) 及び完備性により、 (d≦0),(d≦1)∈F_{Nw} かつ μ_{Nw}(d≦0)＝0, μ_{Nw}(d≦1)＝0 となる。 よって、この T_0 の場合では、(d≦k) は k＝0,1,2 に対して可測となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/413

414: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:08:06.90 ID:vpuiD3x9 >>389 御託はいいから、証明かけよ おれのためじゃなく、証明を要求したID:Rh3Q9O/g氏や その他にも、証明を見たいって人いるだろう？ >別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。 不同意！ 数学では、そんな理屈はないよ おれは、あんたのクソ証明を見て、 ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、どういう反応を示すかみたいだけ ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、クソ証明だというならば、多分それはクソだよね ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、あんたの証明を見て賞賛するなら、それから考えるよ まあ、クソでも賞賛でもないなら、それはそのときでまた考えるさ ともかく、証明書いてみな なお、以前にも類似（他の人で証明読んでくれ）があったけど 個人的希望は、ＰＤＦにしてアップしてもらいたいね この板では、数式はまともに書けない等があるから視認性が悪いのでね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/414

415: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:08:23.41 ID:V6kL7bYX さて、「ある k_0≧1 が存在して、(d≦k) は k≧k_0 のとき非可測」であることから、 { k≧0｜∀k'≧k s.t. (d≦k') は非可測 } という集合は空でない。そこで、この集合の最小元を再び k_0 と置くことにする。 よって、k_0 ≧ 0 であり、k≧k_0 のとき、(d≦k) は非可測である。 ・ もし k_0＝0 なら、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測ということになる。 ・ もし k_0≧1 なら、k_0 の最小性から、(d≦k_0−1) は可測、すなわち 　 (d≦k_0−1) ∈ F_{Nw}　ということになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/415

416: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:09:58.76 ID:V6kL7bYX 定理：>>376の確率空間(Y_n,E_n,α_n)について、ここでは n＝99 の場合を考える。 d：[0,1]^N → N∪{0}は決定番号の写像とする。z＝(z^{0},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98} として D：Y_99 → N∪{0} を定義する。このとき、α_99^* (D≧k_0) ＞ 0 である。 証明：k_0＝0のときは、α_99^* (D≧0) ＞ 0 を示せばよいが、そもそも D は非負なので、 (D≧0)＝Y_99 であり、よって α_99^* (D≧0) ＝ 1 ＞ 0 である。 以下では、k_0≧1 としてよい。(Y_99,E_99,α_99)の完備化(Y_99, E_{99w}, α_{99w})について、 >>392の定理により α_99^*＝α_{99w}^* が成り立つことに注意する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/416

417: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:10:56.69 ID:NkNyx+A/ >>414 おまえは3歳児か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/417

418: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:11:29.69 ID:V6kL7bYX さて、α_99^*(D≧k_0)＞0 を示したいのだった。α_99^*(D≧k_0)＝0 と仮定する。 このとき、>>392の定理により (D≧k_0)∈E_{99w} かつ α_{99w}(D≧k_0)＝0 である。 (Y_{98},E_{98},α_{98})と([0,1]^N,F_N,μ_N)の積空間が(Y_99, E_99, α_99)であるから、>>393の定理により、 α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. ¬( (u,v)∈(D≧k_0) ) が成り立つ。すなわち、 α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1) が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_98∈E_98が存在して、 ∀u∈Y_98−M_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1) が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/418

419: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:12:04.46 ID:V6kL7bYX そこで、u∈Y_98−M_98 を1つ取って固定する。よって、 μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1) が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_1∈F_N が存在して、 ∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1) が成り立つ。すなわち、 ∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. D(u,v) ≦ k_0−1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/419

420: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:12:53.76 ID:NkNyx+A/ >>387 >あなたには http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない >ということでよろしいか？ にできると言いながら挙げない時点で詰み できるできる詐欺かｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/420

421: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:13:04.88 ID:V6kL7bYX D(u,v)＝ max{ d(u^{0}),…,d(u^{98}), d(v) } だから、 ∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. d(u^{0})≦k_0−1, d(u^{1})≦k_0−1,…, d(u^{98})≦k_0−1, d(v)≦k_0−1 ということになる。特に、 ∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. d(v)≦k_0−1 である。これは [0,1]^N−M_1 ⊂ (d≦k_0−1) を意味する。 特に、μ_{Nw}^*([0,1]^N−M_1) ≦ μ_{Nw}^*(d≦k_0−1) が成り立つ。 すなわち、1≦μ_{Nw}^*(d≦k_0−1) である。一方で、>>411で見たように μ_{Nw*}(d≦k)＝0 (∀k≧0) なので、特に μ_{Nw*}(d≦k_0−1)＝0 である。よって、 μ_{Nw*}(d≦k_0−1) ＜ μ_{Nw}^*(d≦k_0−1) となったので、(d≦k_0−1) は非可測である。しかし、k_0の最小性から、(d≦k_0−1) は可測なので矛盾。 以上により、α_99^*(D≧k_0)＞0 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/421

422: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:13:37.88 ID:vpuiD3x9 >>403 挙げている アホか お前はｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/422

423: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:14:00.40 ID:V6kL7bYX さて、>>375-383の証明を修正しなければならない。>>382 の ＞B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、 ＞B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、 ＞任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。 この部分までは、修正の必要はない。ここから先は、新しく証明を書き直す。 状況を整理しておくと、A が可測であるという仮定のもとで、 B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} } という集合について、 (☆) あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす という展開になっている。ここから矛盾を導きたい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/423

424: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:14:19.60 ID:V6kL7bYX z＝(z_0,…,z_98)∈Y_99−M に対して、D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と定義する。 任意の z∈Y_99−M に対して、(☆)により B_z∈F_{Nw} であるが、一方で B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} } ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦D(z) } ＝ (d≦D(z)) であるから、結局、(d≦D(z))∈F_{Nw} ということになる。これが任意の z∈Y_99−M で成り立つ。 よって、次が言えたことになる。 (☆☆) ∀z∈Y_99−M s.t. (d≦D(z))∈F_{Nw}. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/424

425: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:14:42.60 ID:V6kL7bYX 一方で、>>416の定理により、α_{99}^*(D≧k_0) ＞ 0 である。α_99(M)＝0 なので、 α_{99}^*((D≧k_0)−M) ＞ 0 である。よって、(D≧k_0)−M は空でない。 そこで、z∈(D≧k_0)−M を1つ取る。すると、特に z∈Y_99−M なので、 (☆☆)により (d≦D(z))∈F_{Nw} である。一方で、z∈(D≧k_0) なので、 D(z)≧k_0 である。よって、 ・ (d≦D(z))∈F_{Nw},　D(z)≧k_0 ということになったが、任意の k≧k_0 に対して (d≦k) は非可測なので矛盾。 以上により、A は可測という仮定は間違っていたことになる。よって、A は非可測である。■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/425

426: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:17:42.56 ID:V6kL7bYX >>407 ＞２）”どんな実数を入れるかはまったく自由”だから、(-∞、+∞)でしょ！！ｗ もともとの時枝記事では、出題する実数列は固定である。 何を選んでもよいが、選んだあとは固定である。 その固定された実数列に対して、回答者が何度も時枝戦術をテストするという構造である。 一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。 ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような 「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」 は不可能。しかし、閉区間[0,1]なら一様分布が存在する。 よって、箱の中身を「0以上1以下の実数」に制限すればよい。 時枝記事の不思議さは、このように制限しても失われない。それだけの話。 今さら [0,1] に文句をつけるのはナンセンス。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/426

427: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:19:00.76 ID:NkNyx+A/ >>422 挙げてない アホか お前はｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/427

428: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:22:01.74 ID:vpuiD3x9 >>421 ご苦労様ですｗ 区間[0,1]のトイモデルが終わったら 元の時枝の通り>>1の [0,1]→｛-∞、+∞｝やってくれ>>407 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/428

429: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 23:23:46.12 ID:V6kL7bYX >>428 それは不可能。理由は>>426で書いたとおり、 ＞一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。 ＞ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような ＞ ＞「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」 ＞ ＞は不可能。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/429

430: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:27:47.67 ID:NkNyx+A/ >>401 >>>387 >>あなたには http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない >>ということでよろしいか？ >不同意 >１）決定番号は、非正則分布を成す >２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない >３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない 問われているのはhttp://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の間違っている文だが、 >１）決定番号は、非正則分布を成す >２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない >３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない はいずれもhttp://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Theorem 1 の証明の中の文ではない。 つまり>>1は言葉が分からないことを露呈した。 中卒は学歴詐称だな。実際は小学校中退だろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/430

431: １３２人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:57:37.03 ID:vpuiD3x9 >>402 >今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。 >両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。 >すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、 意味わからんけど １）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える 　2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・ 　なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ） ２）一方で、無限次ベクトル (a,a,・・,a,・・)を考えると 　このベクトルの長さLは、通常の成分の2乗を開平だとして 　L=√(Σn=1～∞ a^2)→∞ （∵ a≠0 ）つまり発散するよ ３）だから、[0,1]^Nの空間に計量を入れて扱おうとするならば、 　通常の1次元ルベーグ測度 [0,1] とは、違う測度にしないと、どうにもならん気がするけど？ 　だからのヒルベルト空間でしょ？ （最初から、ベクトルの長さが定義できる素性の良いところに限定するんだよ） ４）そもそも、下記ヴィタリ集合の非可測性は、 　実数Rに与えられたルベーグ測度をベースに論じて 　その上で非可測性を示すよね ５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、 　どういう測度を与えるのか？ 　そこをしっかりしないと、上滑りの”可測、非可測”の議論になるよ 　 (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 可測集合 集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。 重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。 構成と証明 これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/431

432: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:07:53.71 ID:sIOgpcGr >>390-425 読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。 (>>399) ＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、 ＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。 この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、 なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。 なので、>>399は丸ごと削除する。 そして、>399の性質を使っているのは>>404だけなので、以下で>>404を証明し直す。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/432

433: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:08:47.98 ID:sIOgpcGr その前に、見落としがちな注意点を1つ。 (X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。 このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。 内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、 そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する ・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B) という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、 B＝A∪(B−A) と分解できて、AとB−Aは互いに素なので、 ν_*(B)＝ν_*(A∪(B−A))≧ν_*(A)＋ν_*(B−A)≧ν_*(A) となり、確かに ν_*(A)≦ν_*(B) である。なぜこちらは逆転しないのかというと、 A⊂B がともに可測のときには、ν_*(A)＝ν(A), ν_*(B)＝ν(B) であり、 かつ ν(A)≦ν(B) なのだから、このように考えれば、逆転するわけがないと分かる。 内測度なんて滅多に使わないので、一応補足しておいた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/433

434: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:10:10.22 ID:sIOgpcGr では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。 そのやり方は、>>400, >>402と全く同じ方法でよかった。 A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。 A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、 μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。 A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、 μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。 x∈[0,1) を任意に取って、x での断面を考えれば、( [0,1)A )_x ⊃ B_x である。 ( [0,1)A )_x ＝ A なので、A ⊃ B_x である。さらに、B∈F_N により B_x∈F_N である。 よって、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B_x)＝μ_N(B_x)である。これが任意の x∈[0,1) で言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/434

435: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:13:02.12 ID:sIOgpcGr フビニの定理から μ_N(B)＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z)dμ_N(z) ＝ ∫_{ [0,1] × [0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y) ＝ ∫_{ [0,1] }∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y)dμ_N(y)dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1] } μ_N(B_x) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1) } μ_N(B_x) dμ_1(x) ≦ ∫_{ [0,1) } μ_{N*}(A) dμ_1(x) ＝ μ_{N*}(A) すなわち μ_N(B)≦μ_{N*}(A) となる。[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B は任意だったから、 μ_{N*}([0,1)A)≦μ_{N*}(A) となる。以上により、μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。 修正完了。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/435

436: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:23:04.71 ID:sIOgpcGr >>431 さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。 まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。 μ_1([0,1])＝1 なので、この測度空間は確率空間になっている。 そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。 これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。 [0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。 これは確率論の基礎の範囲。 ＞１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える ＞2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・ ＞なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ） 実際、0＜a＜1 に対して [0,a]^N ∈F_N が成り立ち、なおかつ μ_N([0,a]^N)＝0 である。 しかし、μ_N([0,1]^N)＝1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/436

437: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:28:10.93 ID:sIOgpcGr >>431 ＞５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか？ 何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。 では、μ_N はどこから来たのか？ 何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、 その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、 ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、 ・ 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と書いた時点で、既に μ_N が [0,1]^N 上の測度として自動的に採用されている。 つまり、μ_N という測度が出現するのは 「可算無限直積 確率空間」という操作を施したタイミングである。 そこで初めて μ_N という測度が出現し、それが [0,1]^N 上の測度として採用される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/437

438: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:35:41.23 ID:sIOgpcGr μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる： 任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、 A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる) という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。 すなわち、上記の集合に対して μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。 この書き方でどんな測度が入っているのか理解できないなら、スレ主は確率論を語る資格がない。 一応注意しておくが、これは自分が独自に考案した確率空間ではない。 ごく標準的な確率空間の構成を述べているだけである。さすがにこれは確率論の基礎の範囲。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/438

439: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 01:12:37.15 ID:Hdk0OAq+ ID:V6kL7bYX＝ID:sIOgpcGr　さすが「数学博士」　見事な証明だ しかも、任意のｎについて 有限個の k≦ｎ に対して (d≦k) が可測になる具体例>>413 まで示してくれた この具体例では、結局、頭の有限個の項だけ全部0にすることで (d≦k) の測度を0にできるが、無限個全部を0にしてしまうと どの代表も「全部0の列」になってしまって違いがなくなる ということになる ま、中卒は 「実はすべての列が、全部0の列と同値になるから、 　ほとんどすべての列で決定番号∞なのだよ」 とか馬鹿丸出しのことをいうだろうが、 それは全くの初歩的誤りだから嘲笑されるだけである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/439

440: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 08:06:51.70 ID:+emxAWt1 >>438 (引用開始) μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる： 任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、 A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる) という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。 すなわち、上記の集合に対して μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。 (引用終り) ご苦労さまです 少し質問しよう １）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？ 　それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい ２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という 　しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？ ３）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” 　は、コルモゴロフの確率公理を満たすか？ 　特に、全事象Ωの確率を1とできるか？ ４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” 　のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ 　つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1～d100を含む部分,残りに無限のしっぽ 　「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ 　上記３）の問いのように、”コルモゴロフの確率公理を満たすか？”、”全事象Ωの確率を1とできるか？” 　がクリアできていない場合、先頭の有限部分だけ使いましたって、なってませんか？ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/440

441: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 08:12:54.97 ID:5C0+Brs7 >>414 昨日のID:Rh3Q9O/g氏ですが 昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/441

442: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 08:19:33.44 ID:5C0+Brs7 >>440 438は単なる積測度の定義 数学科の学生なら必修 箱入り無数目とは無関係の基本 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/442

443: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:06:20.63 ID:sIOgpcGr 可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。 Infinite Products of Probability Spaces https://jpmccarthymaths.com/2012/01/08/infinite-products-of-probability-spaces/ ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/443

444: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:07:36.99 ID:sIOgpcGr まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。 それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。 そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが 上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1〜∞]Ω_n である。つまり Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×…　 である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、 Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (＝[0,1]^N) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/444

445: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:09:42.48 ID:sIOgpcGr 具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、 ＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1〜∞]A_n ⊂ Ω ＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n. ＞ Elements of R will be called rectangles. として集合族 R を用意する。ご覧の通り、 R ＝ { Π[n＝1〜∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n } と置いている。つまり、Π[n＝1〜∞]A_n の実体は Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… (← これ以降は Ω_* が順番に並ぶ) というものである。標本空間である Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×… の中から 先頭の有限個だけを弄って A_1×A_2×…×A_k に差し替え、残りの Ω_m は弄らないという集合が Π[n＝1〜∞]A_n の実体である。そのような Π[n＝1〜∞]A_n 全体の族を R と置いている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/445

446: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:11:16.35 ID:sIOgpcGr R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。 先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、 いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といったイメージである。 ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1〜∞]A_n は Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ) というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440) などとバカみたいな発言をしているが、 そもそもこのような集合(rectangle, 柱状集合, シリンター)が出発点なのである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/446

447: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:11:47.06 ID:sIOgpcGr R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。 リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、 ここでは A_f と書くことにする。 A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/447

448: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:13:40.31 ID:sIOgpcGr 次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。 まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において ＞ Now for A＝Π[n＝1〜∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1〜∞] P_n(A_n). ＞ The product converges since all but finitely many factors are 1. と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1〜∞]A_n∈R に対して P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) と定義している。 P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。 n ごとに A_n⊂Ω_n, A_n∈S_n なのだから、A_n に施すべき確率測度は P_n であり、 よって P_n(A_n) という項が出現している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/448

449: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:14:32.75 ID:sIOgpcGr A の実体は A＝Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… というものだったから、P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義の実体は P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})… というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k) と定義している。つまり、無限積に見える P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義は、 実際には有限積であり、具体的には P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k) である。このことは ＞ The product converges since all but finitely many factors are 1. にも書かれている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/449

450: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:15:50.41 ID:sIOgpcGr 要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) として定義しているわけである。 最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k) と定義することになる。スレ主はこのことを「時枝トリック類似」(>>440) などと言ってインチキ扱いしていたが、むしろ、これこそが 無限直積 確率空間における確率測度を定義するための第一歩なのである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/450

451: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:17:21.33 ID:sIOgpcGr 続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。 A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、 ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。 そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、 そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、 よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。 こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。 すなわち、A＝∪[r＝1〜N] B_r の右辺の表現の仕方によらず一意的に P(A) の値が定まる。 より具体的に言えば、同じ A＝∪[r＝1〜N] B_r を別の有限個の互いに素な C_1,…,C_M∈R によって A＝∪[r＝1〜M] C_r と表せたときに、 Σ[r〜1〜N] P(B_r) ＝ Σ[r〜1〜M] P(C_r) が成り立つことが示せる。このことはリンク先で証明されている。 こうして P：A_f → [0,1] が定義できたが、この P は A_f 上で有限加法的であることが示される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/451

452: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:18:57.30 ID:sIOgpcGr A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。 そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。 https://ja.wikipedia.org/wiki/E.%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%97%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E5%AE%9A%E7%90%86 ちなみに、>>443のリンク先では ＞ by the Caratheodory Extension Theorem. すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。 このことは上記のwikiでも触れられていて、 ＞ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を ＞「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。 ということらしい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/452

453: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:20:42.82 ID:sIOgpcGr さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま ・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1〜∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1〜∞] A_n) ＝ Σ[n＝1〜∞] P(A_n) が成り立つことを示せばよい。このことは、 ＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension ＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem. から先の部分で示されれている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/453

454: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:21:36.51 ID:sIOgpcGr 以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、 その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。 これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる： 任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) が成り立つ。 ↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/454

455: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:22:09.76 ID:sIOgpcGr 最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を 適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。 文献に関しては以上。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/455

456: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:26:12.07 ID:sIOgpcGr >>440 ＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？ ＞　それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい スレ主、可算無限直積 確率空間を全く知らないことが露呈。 コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、 当の本人はこんなことも理解してないという有様。 確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。 それを「知らない」時点でお里が知れる。 先行文献は上に挙げたとおり。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/456

457: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:26:57.51 ID:sIOgpcGr >>440 ＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という ＞　しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？ 存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。 ＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” ＞　のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ ＞　つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ ＞　「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ スレ主、可算無限直積 確率空間という普通の確率空間をインチキ認定するという暴挙に出るｗ トンデモはここが限界なんだろうな。 さすがにバカでしょこれ。呆れて何も言えないよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/457

458: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:28:40.40 ID:sIOgpcGr スレ主が大好きな ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、 ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、 ・ 写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への 　 可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。 ・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。 ・ 各 X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 という3つの条件を全て満たしていることになる。そのような確率空間(Ω, F, P)が存在することになる。 というより、そのような(Ω, F, P)が存在しなければ、対応する ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) は確率論的には定義不可能ということになってしまう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/458

459: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:36:28.60 ID:sIOgpcGr X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、 そして、X_1：Ω→[0,1]　を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。 X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、 X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1]) と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、 各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 X_1は[0,1]^2の第一成分を取り出すという射影であり、 X_2は[0,1]^2の第二成分を取り出すという射影である。 「独立同分布」における「独立」の部分を担保しているのが、 この「第 i 成分を取り出す射影である」という性質である (厳密には、確率測度が直積測度として与えられていることも重要だが)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/459

460: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:38:03.05 ID:sIOgpcGr 有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。 具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、 そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。 こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、 X_1〜X_n の場合に必要だった確率空間は、 ([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、 という構図になっている。 つまり、X_1〜X_n の個数を増やしても、単に([0,1],F_1,μ_1)の積を考えていけば、 「iid 確率変数」の存在性を担保する確率空間(Ω,F,P)が実現できるという構図になっている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/460

461: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:39:12.74 ID:sIOgpcGr では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？ 実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。 つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。 そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。 (よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。) こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、 各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/461

462: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 12:39:55.41 ID:sIOgpcGr このように、スレ主が大好きな ・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現) の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、 当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、 ＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)” ＞　のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ ＞　つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ ＞　「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ こんなことを言ってインチキ認定している。話にならない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/462

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