[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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1: １３２人目の素数さん [] 2022/10/21(金) 20:45:31.85 ID:JJUDruWB 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる 前スレ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/1 （参考） 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい. もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる. 今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう. どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる. 勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け. 勝つ戦略はあるでしょうか?」 https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis （Denis質問） I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up. （Pruss氏） The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate. （Huynh氏） If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/1

2: １３２人目の素数さん [] 2022/10/21(金) 20:46:06.54 ID:JJUDruWB つづき mathoverflowは時枝類似で ・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.” 　となっています。Denisの経歴を見ると、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しい人でしょう ・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています http://www.ma.huji.ac.il/hart/ Sergiu Hart http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle Some nice puzzles: http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf? Choice Games November 4, 2013 P2 Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively. Sergiu Hart氏は、ちゃんと”シャレ”が分かっている（関西人かもｗ） Some nice puzzles Choice Games と、”おちゃらけ”であることを示している かつ、”P2 Remark.”で当てられないと暗示している また、”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2” で、選択公理なしで同じことが成り立つから、”選択公理”は、単なる目くらましってことも暗示している つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/2

3: １３２人目の素数さん [] 2022/10/21(金) 20:46:28.64 ID:JJUDruWB つづき だめなのは、時枝記事だ。まあ、題名はおちゃらけだが、もっとはっきり、数学パズルとした方がよかったろう 非可測で、ヴィタリに言及しているのが、ミスリードだ Hart氏の”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”のように、選択公理不使用のGAME2があるから、 ソロベイの定理（下記 wikipedia ご参照）から、ヴィタリのような非可測は否定される conglomerabilityか、あるいは総和ないし積分が発散する非正規な分布により、可測性が保証されないと考えるべき 時枝氏は、確率変数の無限族の独立性が理解できていないのも痛いね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 ヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。 (引用終り) テンプレは以上です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/3

4: １３２人目の素数さん [] 2022/10/21(金) 21:01:51.20 ID:JJUDruWB なんか、前スレの最後は、グダグダになったんだｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/4

5: １３２人目の素数さん [] 2022/10/21(金) 23:47:55.43 ID:JJUDruWB 前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/885 補足 さて纏めよう １）Mを自然数とする 　区間[0,M]を100倍にして、区間[0,100M]を考える 　区間[0,M]も区間[0,100M]も一様分布とする ２）dが自然数として、 　dは区間[0,100M]内で一様に存在するとする 　いまdが区間[0,M]内に存在する 　即ち、0<d<M となる確率は 1/100だ ３）100<α として、100→α置き換えることができる 　0<d<M となる確率は 1/αとなる ４）上記は、正則分布[0,αM]の場合だ 　α→∞とすると、非正則分布だ 　そして、確率は 1/α→1/∞＝0となる ５）つまり、確率論で、 　非正則分布たる自然数の集合Ｎ全部をとると 　有限の区間[0,M]で、確率99/100を得ても 　それは条件付き つまり ”1/α→1/∞＝0”下での確率であって 　全体としては 　(99/100)*1/∞＝0なのです これが、時枝トリックの種明かしです ”固定”だとか”定数”とか言っても それは条件付き つまり ”1/α→1/∞＝0”下での確率であって 全体としては (99/100)*1/∞＝0なのです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/5

6: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 00:10:45.32 ID:v1c6Gw+Y >>5 世論調査で考える。日本人が可算無限人いるとする。 それぞれの日本人には 1,2,3,… と順番に背番号を与える。ここでは、 ・ 背番号1の日本人のみ「不支持」で、他の日本人は全て「支持」である というケースを考える。この場合、100人の日本国民を任意に選ぶと、 背番号の1の日本人が含まれてない場合には、その100人の中での支持率は 100％ であり、 背番号1の日本人が含まれている場合には、その100人の中での支持率は 99％ である。すなわち、 (☆)「あらゆる全ての100人の日本国民の組み合わせについて、その100人の中での支持率は99%以上である」 という性質が成り立つ。しかし、スレ主の屁理屈によれば、次のようになる。 ・ 今回は日本国民が可算無限人いるという設定なのだから、非正則分布たる自然数の集合N全部をとると 　 有限の区間[0,M]で「選んだ100人の中での支持率が99％以上」という確率を得ても、それは条件付き 　 つまり ”1/α→1/∞＝0”下での確率であって、全体としては (99/100)*1/∞＝0 なのです。 このように、スレ主によれば、全体での支持率はゼロということになる。 しかし、今回の仮定は「背番号1の日本人のみ不支持」なのだから、全体での支持率がゼロはあり得ない。 こうして、スレ主のトンデモ論法は崩壊する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/6

7: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 00:33:06.57 ID:v1c6Gw+Y スレ主がどこで間違えたのかは明白。単純に確率の計算の仕方がおかしいのである。 前スレで散々指摘しているのだが、ここに再掲しよう。 閉区間[0,1]の中からランダムに1つ実数を選んで x とする。x＞1/3 ならスレ主の勝ちで、x≦1/3 ならスレ主の負けとする。 このとき、スレ主の勝率は 2/3 であるが、スレ主の屁理屈によれば、次のようになる。 ・ 閉区間 [0,1] の中からどんな x を選んでも、その x という一点は閉区間 [0,1] の中で確率ゼロである。 ・ となれば、例えばの話として、もし x＝0.51 ならスレ主の勝ちだが、そもそも x＝0.51 が起こる確率はゼロである。 ・ 他の例としては、もし x＝0.9 ならスレ主の勝ちだが、そもそも x＝0.9 が起こる確率はゼロである。 ・ 同じように、a∈(1/3, 1] のとき、もし x＝a ならスレ主の勝ちだが、x＝a が起こる確率は a ごとに確率ゼロである。 ・ このように、スレ主が勝つような「x＝a」は、確かにその「x＝a」が発生しさえすればスレ主の勝ちなのだが、 　 そもそも「x＝a」が発生する確率自体が a ごとに常に確率ゼロになっている。 ・ つまり、スレ主が勝つ確率は、確率ゼロの条件下での条件付き確率にすぎない。 ・ ゆえに、スレ主が勝つ確率は実際にはゼロである。勝率 2/3 なんて大嘘である。実際には (2/3) * 0 ＝ 0 である。 これがスレ主の言っていること。何が間違っているのかは明白で、単純に確率の計算方法が間違っている。 つまり、時枝記事が間違っているのではなく、スレ主が確率の計算を間違えているだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/7

8: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 08:41:41.48 ID:vbwjrS8W >>6 >しかし、今回の仮定は「背番号1の日本人のみ不支持」なのだから、全体での支持率がゼロはあり得ない。 確率論分かってないね １）宝くじで、当りは1枚のみ。全体で100枚なら、当りの確率1/100 ２）全体でｎ枚なら、当りの確率1/ｎ （ねんのため、ｎ＞100とする） ３）ｎ→∞の極限を考える（非正則分布になる）、当りの確率1/ｎ→0 ４）つまり、当りの確率0は、当りくじの存在を否定するものではない！ 　（もし当たったら、人はそれを奇跡と呼ぶ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/8

9: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 08:47:14.06 ID:vbwjrS8W >>7 その批判は、全く的外れ 下記の公理的確率論を、百回音読してくださいｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96 確率論 公理的確率論 「確率の公理」も参照 現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの『確率論の基礎概念』（1933年）[4]に始まる公理的確率論である。この確率論では「確率」が直接的に何を意味しているのかという問題は取り扱わず、「確率」が満たすべき最低限の性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。公理的確率論の必要性に関しては確率空間の項を参照。 現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。確率変数が可算型や連続型の場合でも、公理的確率により解析的に記述できるようになる。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/9

10: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 08:56:22.69 ID:v1c6Gw+Y >>8 文章をちゃんと読めてないね。今回の仮定は「背番号1の日本人のみ不支持」(他は全員支持) なのだから、宝くじで例えるなら、「外れは1枚だけ」ということ。具体的には次のようになる。 (1) 宝くじで、1枚を除いて全て当たり。全体で100枚なら、当たりの確率 99/100 (2) 全体でｎ枚なら、当りの確率 (n−1)/ｎ （念のため、ｎ＞100とする） (3) n→∞とすると、当りの確率 (n−1)/n → 1 である。 このように、当たりの確率は 1 になる。ところが、スレ主の屁理屈だとゼロになる。 だからスレ主がおかしいということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/10

11: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 09:03:20.75 ID:v1c6Gw+Y 宝くじが可算無限枚あるとする。それぞれの宝くじには、1,2,3,… と順番に番号を与える。ここでは、 ・ 番号1の宝くじのみ「ハズレ」で、他の宝くじは全て「当たり」である というケースを考える。この場合、100枚の宝くじを任意に選ぶと、 番号の1の宝くじが含まれてない場合には、その100枚の中での当選率は 100％ であり、 番号1の宝くじが含まれている場合には、その100枚の中での当選率は 99％ である。すなわち、 (☆)「あらゆる全ての100枚の宝くじの組み合わせについて、その100枚の中での当選率は99%以上である」 という性質が成り立つ。しかし、スレ主の屁理屈によれば、次のようになる。 ・ 今回は宝くじが可算無限枚あるという設定なのだから、非正則分布たる自然数の集合N全部をとると、 　 有限の区間[1,M]で「選んだ100枚の中での当選率が99％以上」という確率を得ても、それは条件付き 　 つまり ”1/α→1/∞＝0”下での確率であって、全体としては (99/100)*1/∞＝0 なのです。 このように、スレ主によれば、全体での当選率はゼロということになる。 しかし、今回の仮定は「番号1の宝くじのみ外れ」すなわち、番号1以外の宝くじは全て当たりなのだから、 番号1〜番号M の宝くじの中での当選率は (M−1)/M であり、M→∞ とすれば当選率は 1 に収束する。 こうして、スレ主のトンデモ論法は崩壊する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/11

12: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 09:09:45.83 ID:v1c6Gw+Y スレ主がどこで間違えたのかは明白。単純に確率の計算の仕方がおかしいのである。具体的には ＞ それは条件付き つまり ”1/α→1/∞＝0”下での確率であって、全体としては (99/100)*1/∞＝0 なのです。 ここが間違っている。スレ主はここで「確率ゼロの条件下での条件付き確率だから、全体としてはゼロなのだ」 と主張しているのだが、これこそが間違いである。そして、この間違え方は>>7と同じ。 スレ主は>7を「的外れだ」と言っているが、逆である。的を得ているのだ。スレ主がそのことに気づいてないだけ。 まあ、>>11(宝くじバージョン)をちゃんと読めば、スレ主も自身の間違いに気づくであろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/12

13: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 09:18:52.99 ID:vbwjrS8W >>8 補足 > ３）ｎ→∞の極限を考える（非正則分布になる）、当りの確率1/ｎ→0 ＜非正則分布についての補足＞ (参考) 箱入り無数目を語る部屋2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/834 より https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/ AVILEN Inc 2020/04/14 非正則事前分布とは？?完全なる無情報事前分布? ベイズ統計 ライター：y0he1 非正則な分布とは？一様分布との比較 非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。 非正則分布は確率分布ではない！？ 上で説明した非正則な分布ですが、よく見てみてください。確率の和が1ではありません https://kuboweb.github.io/-kubo/log/2010/img05/BayesianInference/chapter6.pdf Link and Barker (2010) 輪読@北海道大学 Part1. 第 6 章 Prior 1 Chapter 6. Prior 2010/5/29 (Sat.) 飯島勇人† P8 6.2.2 Improper priors 一様事前分布は、パラメータが有限の範囲を持つ時に、適切と考えられる値が特に存在しないと きに有効である。この考えを無限に拡張することはよいように思われるが、無限の範囲を持つ一様 分布は不可能である。improper prior（非正則事前分布）という考えを導入する必要がある。 (引用終り) 要するに、非正則分布は、例えば、一様分布の範囲を無限に広げた分布である（一様事前分布） 範囲が無限であっても、下記の正規分布のように、指数関数的に減衰する場合は、積分は発散せず、正当に扱える 類似で、裾の重い分布がある 分布の裾が、xの-1乗より早く減衰すれば、積分は発散しない （積分 ∫x=1～∞ x^-1 dx が発散して∞になることは、よく知られている） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/13

14: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 09:19:16.63 ID:vbwjrS8W >>13 つづき しかし、分布の裾が減数しない、例えば上記 一様分布の範囲を無限に広げた分布（一様事前分布） は、積分が発散して、確率の和（つまり全事象）が1にならない よって、通常の確率論の外になる 時枝の決定番号に、同じ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83 正規分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83 裾の重い分布 裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/14

15: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 09:25:38.72 ID:v1c6Gw+Y おバカのスレ主のために状況を整理すると、次のようになる。 >>11と同じく、番号1の宝くじのみハズレで、その他は全て当たりとする。 ・ 宝くじ全体の中から100枚の宝くじを任意に選ぶと、その100枚の中での当選率は99％以上である。 ・ さて、M≧100 を任意に取る。 ・ 番号1〜番号Mの M 枚の中から、100枚の宝くじを任意に選ぶ(全部で M_C_100 通りの選び方がある)。 ・ "選んだ100枚の中での当選率" は、既に述べたように99％以上である。 ・ 一方で、"番号1〜M 全体での当選率" は、明らかに (M−1) / M である。 ・ M → ∞ とすると、(M−1) / M → 1 なので、宝くじ全体での当選率は 1 である。 ご覧のとおり、スレ主が言うような「確率ゼロの条件下での条件付き確率」なんて出現しない。 ところが、スレ主の屁理屈は一般的に通用する屁理屈になっているので、 今回の設定でも通用してしまい、「宝くじ全体での当選率はゼロ」となってしまう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/15

16: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 09:33:45.11 ID:v1c6Gw+Y >>14 ＞よって、通常の確率論の外になる ＞時枝の決定番号に、同じ 同じではない。決定番号の写像 d：[0,1]^N → N はルベーグ非可測なのであって、非正則分布なのではない。 ルベーグ非可測であることと非正則分布であることは別物。 スレ主は「写像 d は非正則分布を成す」と言っているが、実際には 「 N上に非正則分布の構造を人間が勝手に定義できる」 と表明しているだけである。 そして、人間が勝手に非正則分布を定義できるからと言って、時枝記事でも非正則分布が使われているとは限らない。 時枝記事でも使われていると主張するためには、時枝記事の中で非正則分布を代表した議論が存在しなければならない。 ところが、時枝記事では非正則分布を「代表しない」議論のみが存在する。 よって、時枝記事では非正則分布は使われていない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/16

17: １３２人目の素数さん [] 2022/10/22(土) 11:32:12.64 ID:vbwjrS8W >>13-14 補足 >分布の裾が減数しない、例えば上記 一様分布の範囲を無限に広げた分布（一様事前分布） >は、積分が発散して、確率の和（つまり全事象）が1にならない >よって、通常の確率論の外になる >時枝の決定番号に、同じ １）時枝の決定番号は、上限がなく、その裾は減衰しない ２）よって、非正則分布を成す ３）このような非正則分布を使う確率計算は、ドツボに嵌まる可能性がある ４）それが、時枝記事だ ５）つまり、決定番号dが、区間[0,M]内に存在する確率は0 （>>5に示した通り） ６）だから、区間[0,M]内の決定番号を使った確率計算で、99/100を得ても 　それは条件付き確率であって、実際は、(99/100)*1/∞＝0なのです（>>5に示した通り） まあ、それ以外にも 非正則分布の二つの確率変数X1,X2との大小比較確率が、 確率論として正当化されうるかどうか？ そういう論点もありだろうね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/17

18: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/22(土) 12:26:01.63 ID:v1c6Gw+Y >>17 その屁理屈は「100枚の封筒」(前スレの>>499)でも通用してしまい、 回答者の勝率はゼロになってしまう。今ここで、設定をおさらいしておこう。 100枚の封筒があって、どの封筒にも確率 1/2^k で 4^k ドル入っているとする(k≧1)。 k番目の封筒の中身を d_k とする。回答者は 1,2,…,100 からランダムに番号 i を選び、 その後で100枚の封筒を一斉に開ける。選んだ i に対する d_i が d_i ＞ max{d_j｜1≦j≦100, j≠i} を満たしていたら回答者の負けで、それ以外なら回答者の勝ち。 この設定では、回答者の勝率は 99/100 以上である。その算出方法は時枝記事と同じで、 100枚の封筒の中身 d＝(d_1,d_2,…,d_100) を固定してから回答者の勝率を計算する、という方針を取る。 厳密な計算は、前スレの>>690-693で既に示してある。これも簡単におさらいしておくと、 回答者が勝率するという事象を A とするとき、A の d における切片 A_d は 確率空間(I, pow(I), η)において η(A_d) ≧ 99/100 を満たし、 よってフビニの定理から P(A) ≧ 99/100 を得る、という手順である。 ともかく、100枚の封筒では、回答者の勝率は確実に 99/100 以上である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/18

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