[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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814(3): 2022/10/17(月)22:49 ID:qQwmejim(4/4) AAS
>>805 補足
なんか、発狂している人いるねｗ
>>725 再録
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v∈ V,u≠vであれば v - u は必ず無理数である。
(引用終り)
以上のことから、
ヴィタリ集合 V の要素 v ∈ [0, 1]は、個々には単に区間 [0, 1]中の無理数でしかないのです
例えば、明らかに 無理数π/4 ∈ [0, 1] を代表にとって、ヴィタリ集合 V の要素 とすることができる
さて、そのような要素π/4をつかったら、即
「非可測集合を使ったから、お手つき～！」などと叫ぶ人がいれば
それは、全くおかしな主張でしょ？ 時枝さんｗ
つまり、ヴィタリ集合 Vは、その要素が不可算個であるから非可測集合なのであって
もし、その要素が有限であったり、可算無限であれば、非可測集合にはなり得ないのですよ
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