スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

801: １３２人目の素数さん [] 2022/10/16(日) 22:47:04.82 ID:QKipb+mA

>>800
>底空間としてのK^N/∪K^n (n∈N)は、当然
>「同値類の代表元全体の空間」でなければならない

意味不明
１）K^N/∪K^n (n∈N)は、当然同値類のことでしょ？ｗ
２）”X に同値関係 ～ を「x ～ y ?⇒ ある σ ∈ F2 が存在して y = σx」で定める．
　選択公理により商集合 X/ ～ の完全代表系 M を取ることができる．”(下記 関西すうがく徒のつどい @alg_d)

(参考)
http://alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回関西すうがく徒のつどい
数学の諸定理と選択公理の関係
@alg_d
2013 年 3 月 17 日
今回は「選択公理がないと宇宙がヤバイ」という話をします．
Ｐ10
X に同値関係 ～ を「x ～ y ?⇒ ある σ ∈ F2 が存在して y = σx」で定める．
選択公理により商集合 X/ ～ の完全代表系 M を取ることができる．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
ある集合 S の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 S を同値類（どうちるい，英: equivalence class）たちに自然に分割できる．

フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ～ が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合
{x∈ S ｜ x ～ a }
である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．
この分割，同値類たちの集合，を S の ～ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/～ と表記する．

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/19S/20190411.pdf
2019/04/11 配布 数学演習 VII・VIII 4 月 11 日分問題 担当: 柳田伸太郎
1 復習 1 (集合と写像, 同値関係と商集合)
1.2 同値関係と商集合

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/801

803: １３２人目の素数さん [] 2022/10/17(月) 06:49:29.06 ID:qQwmejim

>>801 補足

同値類は、置換の公理で済む。選択公理はいらないみたい
つまり、下記
置換の公理→関係→同値関係→「したがって同値類や商集合が定義できます」
で、選択公理により、下記”単射 Y → X が存在する”の部分、つまり「各同値類から、完全代表系を作ることができる」が示せるってこと

(参考)
https://math-fun.net/20200113/4906/
趣味の大学数学
公理的集合論をわかりやすく解説：ZFC公理系を例に
2022年2月19日 木村（@kimu3_slime）

置換の公理
置換の公理は、もしxに応じてある条件Φを満たすyが一意に存在するならば、そのような条件Φを満たすx,yx,yの組の集合が存在する、と言っていますね。「対応関係」を集合に置き換える公理です。

さらに同様のことをして、(A,B)の組のようなものが作れ、その和集合として直積が定義されます。

さらには、関係（relation）が定義できます。

それは、順序対の集合です。つまり、直積集合A×Bの部分集合Rを、二項関係（binary relation）と呼びます。もし(x,y)∈Rなら、x,yは関係していると考えるわけですね（直積がn個ならn項関係です。）

そして関係を使えば、写像・関数（mapping, function）が定義できます。

公理から導かれる結果
関係からは同値関係が定義でき、したがって同値類や商集合が定義できます。

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/19S/20190411.pdf
2019/04/11 配布 数学演習 VII・VIII 4 月 11 日分問題 担当: 柳田伸太郎
1 復習 1 (集合と写像, 同値関係と商集合)
ｐ４
なお, 選択公理を仮定すると次の主張が示せる.
事実. 集合 X, Y について, 全射 f : X → Y が存在すれば単射 Y → X が存在する. 特に Card Y <= Card X.
証明は, 例えば参考文献 [斎藤 09] の命題 2.7.5 を参照すること.

[斎藤 09] 斎藤毅 「集合と位相」 大学数学の入門 8, 東京大学出版会 (2009).

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係
商集合
S の相異なるすべての同値類から代表元を1つずつ集めて作った S の部分集合のことを、集合 S における同値関係 ～ の（あるいは商集合 S/～ の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/803

814: １３２人目の素数さん [] 2022/10/17(月) 22:49:10.63 ID:qQwmejim

>>805 補足

なんか、発狂している人いるねｗ

>>725 再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。

構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v∈ V,u≠vであれば v - u は必ず無理数である。
(引用終り)

以上のことから、
ヴィタリ集合 V の要素 v ∈ [0, 1]は、個々には単に区間 [0, 1]中の無理数でしかないのです
例えば、明らかに 無理数π/4 ∈ [0, 1] を代表にとって、ヴィタリ集合 V の要素 とすることができる

さて、そのような要素π/4をつかったら、即
「非可測集合を使ったから、お手つき～！」などと叫ぶ人がいれば
それは、全くおかしな主張でしょ？ 時枝さんｗ

つまり、ヴィタリ集合 Vは、その要素が不可算個であるから非可測集合なのであって
もし、その要素が有限であったり、可算無限であれば、非可測集合にはなり得ないのですよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/814

828: １３２人目の素数さん [] 2022/10/18(火) 23:54:06.26 ID:Ad52aa1a

>>822
>はい、誤りｗ
>例えば[0,1]の中の有理数全体の集合は可算集合だが
>上記の集合の各点のみの集合が同じ測度をもち、
>全体が１となるような測度は存在しないことが
>ヴィタリ集合の非可測性と全く同じ推論で証明できるｗ

お主の頭、腐っているなｗ
下記”ヴィタリ集合”wikipediaを、ちゃんと読めよｗ

１）[0,1]の中の有理数全体の集合は可算集合で、ルベーグ測度では「可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる」だぞｗ
２）「一つの定数の（可算）無限和は 0 であるか無限大に発散する」だよ。
３）だから、上記で”全体が１となるような測度は存在しない”という結論は同じだが、
　”ヴィタリ集合の非可測性と全く同じ推論”ではないぞｗｗｗ
　（「 V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]」が、ヴィタリの結論だよｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
可測集合
区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a ? b) は長さ b ? a を持つと思われる。集合 [0, 1] ∪ [2, 3] は長さ1の二つの区間の合併であるので、この集合の全長は2と考える。重さで考えても同様に2と考えられる。ここで自然に次の問題が発生する: 実数直線の任意の部分集合 E に対して、必ず '重さ' や '全長'は得られるのか? 例えば、[0, 1] 上の有理数集合はどんな重さになるであろうか。有理数集合は実数直線の中で稠密なので、非負の値が適切であろう。重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は [a, b] の長さに b ? a を割り当て、可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは非可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/828

831: １３２人目の素数さん [] 2022/10/19(水) 08:05:33.46 ID:xfu4AEGC

お主の頭、腐っているなｗ

まず、文字化け訂正>>828
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a <= b) は長さ b - a を持つと思われる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。集合 [0, 1] ∪ [2, 3] は長さ1の二つの区間の合併であるので、この集合の全長は2と考える。重さで考えても同様に2と考えられる。ここで自然に次の問題が発生する: 実数直線の任意の部分集合 E に対して、必ず '重さ' や '全長'は得られるのか? 例えば、[0, 1] 上の有理数集合はどんな重さになるであろうか。有理数集合は実数直線の中で稠密なので、非負の値が適切であろう。重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は [a, b] の長さに b - a を割り当て、可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは非可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。
(引用終り)

つまり、ヴィタリ集合V(非可算)は、実数Ｒのルベーグ測度中では、0,∞を含むいかなる値も不可だということ>>828
しかし、自然数Ｎや有理数Ｑは、可算だから、0か∞は可

付言すると、実数Ｒのルベーグ測度の対極に、下記数え上げ測度がある
数え上げ測度中では、自然数Ｎや有理数Ｑは、∞
数え上げ測度の意味で、非正則分布である自然数Ｎがある！>>51

いずれにせよ、自然数Ｎや有理数Ｑ（可算）は、可測集合です！ｗ
ヴィタリ集合V(非可算)は、非可測です！
両者は、別物ですよｗｗｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E6%B8%AC%E5%BA%A6
数え上げ測度
数え上げ測度（かぞえあげそくど、英: counting measure; 計数測度）とは、集合の元の個数を数えるという方法でその "大きさ"（あるいは "容積"）を測る、ルベーグ積分における測度の一種である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/831

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 153 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.022s