[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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235(2): 2023/02/05(日)16:29 ID:XfMj3WNk(14/19) AAS
>>234
つづき
性質
保型因子に関していくつかの事実が成り立つ。
・任意の保型因子は、至る所零でない正則函数全体の成す乗法群への G の作用に関する 1-双対輪体である。
・保型因子が双対境界輪体となることと、それが至る所零でない保型形式の保型因子として得られることとは同値である。
・与えられた保型因子に対して、それを保型因子に持つ保型形式の全体はベクトル空間を成す。
省10
236(1): 2023/02/05(日)16:30 ID:XfMj3WNk(15/19) AAS
>>235
つづき
アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincare) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす[1]。
定式化
保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子（群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種）j が必要である。j は複素数値（あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値）の函数である。保型因子に課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律を用いて機械的に確認することができる。
歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。 ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版） は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている。
省2
237: 2023/02/05(日)16:53 ID:wVajbkib(23/28) AAS
>>233-236
>f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
>jg(x) は至る所零でない正則函数
>保型形式 f の保型因子とはこのような函数 j
>任意の保型因子は、至る所零でない正則函数全体の成す乗法群への G の作用に関する 1-双対輪体。
>保型因子が双対境界輪体となることと、それが至る所零でない保型形式の保型因子として得られることとは同値。
>与えられた保型因子を持つ保型形式の全体はベクトル空間。
省13
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