ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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828: １３２人目の素数さん [] 2023/02/26(日) 16:49:06.99 ID:ZAlHQVD3

>>826
>一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
>ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。

代数幾何
一般型 の多様体
は、3次元ポアンカレ予想からみの 双曲幾何（Hyperbolization theorem）に相当する部分かな
双曲幾何構造が、最も一般的とか書いてあった記憶がある

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8C%96%E4%BA%88%E6%83%B3
幾何化予想（きかかよそう、英: geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。

概説
2次元多様体では3種類の幾何構造（ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造）が考えられ、全ての2次元多様体はこの内1つを自然な幾何構造として持つというのは良く知られた事実であった[1]が3次元多様体は自由度が高すぎるため一般には自然な幾何構造は持たせることはできないと考えられていた（実際これは正しい）。

これに対しウィリアム・サーストンは3次元の多様体上の自然な幾何構造というものを新たに定義しそれに基づけば8種類の幾何構造を考えられることを示した。これらには2次元にも存在する3種類の幾何構造と2次元の円筒に対応する球面及び双曲面と線分の積空間のもつ構造（円周と線分の積空間である2次元多様体、円筒は2次元ユークリッド構造をもつ。また、平面と線分の積空間は3次元ユークリッド構造を持つ）、及び2次の実特殊線形群(双曲平面の変換群）の普遍被覆空間（なお、球面の変換群の普遍被覆空間は3次元球面）及びニル (Nil) とソル (Sol) と呼ばれる、合わせて3つの、2次元と1次元の多様体の単純な積では構成できない特殊な幾何構造がある。サーストンの幾何化予想とは全ての3次元多様体はこれらのいずれかの幾何構造を持つ幾つかの部分多様体に分解できるというものである[2]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/828

829: １３２人目の素数さん [] 2023/02/26(日) 16:49:34.45 ID:ZAlHQVD3

>>828
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolization_theorem
Hyperbolization theorem

For Perelman's generalization of Thurston's geometrization theorem to all 3-manifolds, see Geometrization conjecture.
In geometry, Thurston's geometrization theorem or hyperbolization theorem implies that closed atoroidal Haken manifolds are hyperbolic, and in particular satisfy the Thurston conjecture.

Statement
One form of Thurston's geometrization theorem states: If M is a compact irreducible atoroidal Haken manifold whose boundary has zero Euler characteristic, then the interior of M has a complete hyperbolic structure of finite volume.

The Mostow rigidity theorem implies that if a manifold of dimension at least 3 has a hyperbolic structure of finite volume, then it is essentially unique.

https://en.wikipedia.org/wiki/Atoroidal
Atoroidal

In mathematics, an atoroidal 3-manifold is one that does not contain an essential torus. There are two major variations in this terminology: an essential torus may be defined geometrically, as an embedded, non-boundary parallel, incompressible torus, or it may be defined algebraically, as a subgroup
Z ｘ Z of its fundamental group that is not conjugate to a peripheral subgroup (i.e., the image of the map on fundamental group induced by an inclusion of a boundary component). The terminology is not standardized, and different authors require atoroidal 3-manifolds to satisfy certain additional restrictions. For instance:
略
A 3-manifold that is not atoroidal is called toroidal.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/829

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