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ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/
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63: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/02(月) 23:41:41.39 ID:qZFMMNjk >>62 >「ガロア群」と言わずに、「代数拡大の自己同形群」といったらだめなの？ レスありがとう お答えします １）まず、「ガロア群」は、単なる代数拡大ではまずく、ガロア拡大（下記）に対しての自己同形群でなければならない ２）この説明は、下記のwikipedia ガロア群 にあるので ご参照請う ３）分かり易い例が、代数拡大 Q(√2)/Q は、ガロア拡大で、Gal(Q(√2)/Q)と書けて、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる ４）一方、2の3乗根 2^1/3 による拡大 Q(2^1/3)では、正規拡大でない（x^3 ? 2の根を全て含んでいない）ため、ガロア拡大ではない 実際、K＝Q(2^1/3)で、代数拡大の自己同形群 Aut(K/Q)は自明な群（群{e}）になる しかし、x^3 ? 2の根の全ての添加、それは 2^1/3、2^1/3ω、2^1/3ω^2 の3つで、2^1/3とωの二つの添加で足りるから（ωは1の3乗根） 拡大体L = Q(2^1/3,ω)は、多項式x^3 - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、ガロア群で、Gal(Q(2^1/3,ω)/Q)と書けて、3次の置換群 S3と同型となる この程度の説明で分かるかな 詳しくは、下記を読んでください 分からなければ、また質問してね (参考)（原文見る方が見やすいよ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4 ガロア群 定義 体の拡大のガロア群 E を体 F の拡大体とし、その体の拡大を E/F と表わすこととする。また E/F の自己同型を、 F の各元を固定する E の自己同型と定義する。このとき、 E/F の自己同型全体は群を成す。これを Aut(E/F) と表わす。 E/F がガロア拡大であるなら、 Aut(E/F) を拡大 E/F のガロア群と呼び、 Gal(E/F) で表わす。 E/F がガロア拡大でない場合は、 E のガロア閉包 G に対する自己同型群 Aut(G/F) を、E/F のガロア群と定義することもある。 多項式のガロア群 体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/02(月) 23:42:09.92 ID:qZFMMNjk >>63 つづき 例 下記の例において、 F は一般の体、 C, R, Qはそれぞれ複素数体、実数体 、有理数体とする。また、 F(a) は体 F に元 a を添加した体、即ち F の全ての元と a をふくむ最小の体であるとする。 ・Gal(F/F)は恒等写像のみからなる自明な群。 ・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。 ・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。 ・Gal(Q(√2)/Q) は、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる。 ・K = Q(2^1/3)とするとき、Aut(K/Q)は自明な群となる。これはKが正規拡大でない（x^3 ? 2の根を全て含んでいない）ためである。これはKが分解体ではないからと言いかえることもできる。 ・ω を1の3乗根とするとき、拡大体L = Q(2^1/3, ω)は、多項式x^3 - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、3次の置換群 S3と同型となる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8B%A1%E5%A4%A7 ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) による固定体（英語版）がちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である[1]。 エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/64
67: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 16:34:45.45 ID:aZhrx//w >>63 追加 方程式の根の置換としてのガロア群という視点も重要 下記 海城 は中高一貫校生向けだから、分かり易く書いてある 参考文献に、[2] 倉田令二朗, 『ガロアを読む?第 I 論文研究』, 日本評論社, 1987 年. 「[2] では, 古典的な意味での代数方程式のガロア群が紹介されています。ガロア 理論のテキストは数多く出版されていますが, 体上の自己同型群の立場で記述さ れているものがほとんどです。本書は n 次対称群の部分群として定義してあり, 本稿ではその記述の部分で参考にしました」 とある 方程式論では、この視点も重要です 4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論 Galois 生誕 200 年記念 数学科リレー講座 6 日目 担当: 網谷 泰治 2011 年 8 月 27 日 (土) 海城 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/67
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