ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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299: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/09(木) 00:28:01.09 ID:w492Wd/Q

>>294
指数関数の級数展開
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
で、xを複素数iθに拡張する e^iθ だね
あとは、下記の通りだな（収束は下記の[注 1]にも詳しい）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
e^iz=cos z+isin z
指数関数と三角関数
実関数としての指数関数 ex, 三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すると
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
略
これらの冪級数の収束半径が ∞ であることは、ダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 1]。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1026864290
chiebukuro.yahoo
nis********さん
2009/6/3 14:43
1回答
e^xの収束半径は無限大らしいのですが、どのように証明すればよいですか??
わかる方解説お願いしますm(__)

ベストアンサー
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pgs********さん
2009/6/3 15:45
べき級数Σ〔ｎ=０→∞〕（Ｃｎ）ｘ＾ｎとすれば、収束半径ｒは
ｒ=1/ρ
（ただし、ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜Ｃｎ+1/Ｃｎ｜）
で与えられます。
この問題では、Ｃｎ=1/ｎ！、Ｃｎ+1=1/（ｎ+1）！ですから、
ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜（1/（ｎ+1）！）/（1/ｎ！）｜
=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕1/（ｎ+1）=0
したがって、ｒ=∞です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
階乗
n の階乗（かいじょう、英: factorial）n?!
階乗の増大度
「スターリングの近似」も参照
n が増えるにつれて、階乗 n?! は n を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する（ただし、二重指数関数よりは遅い）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/299

308: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/10(金) 08:21:36.41 ID:t24JvS7F

>>299
>ダランベールの収束判定法

これ面白ね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
ダランベールの収束判定法
ダランベールの収束判定法（ratio test）とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比を考える。もし、この比の極限が 1 未満であれば、級数は絶対収束する。

この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表された。
判定法
厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。
lim _n→ ∞ |a_n+1/a_n|<1
であれば、級数
Σ _n=1～∞ a_n
は絶対収束する。また、
lim _→ ∞ | a_n+1/a_n|>1
であれば、級数は発散する。
もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB
ジャン・ル・ロン・ダランベール（Jean Le Rond d'Alembert、1717年11月16日 - 1783年10月29日）は、18世紀フランスの哲学者、数学者、物理学者

1743年に『動力学論』を刊行し、全ヨーロッパで脚光を浴びる。次いで「流体の釣り合いと運動論」「風の一般的原因に関する研究」などの物理学的研究を次々に発表した。その研究はパリ社交界でも注目され、科学関係者だけでなくディドロ、ルソー、コンディヤックらの哲学者と知り合い、関心分野を広げた。その知名度と関心の広さを見込まれ、ディドロとともに『百科全書』の責任編集者となり、その刊行（1751年）にあたっては序論を執筆した。

『百科全書』には、他に「力学」「原因」「加速的」など150の項目を執筆、それらをとおし「力学は単なる実験科学ではなく、混合応用数学の第一部門である」との説を主張した。ダランベール力学の大きな功績は、ニュートン力学を肯定しながらも、そのなかにみられた神の影響を払拭した点にある。また「動力学」の項目では「ダランベールの原理」を明らかにしている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/308

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