ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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299: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/09(木) 00:28:01.09 ID:w492Wd/Q

>>294
指数関数の級数展開
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
で、xを複素数iθに拡張する e^iθ だね
あとは、下記の通りだな（収束は下記の[注 1]にも詳しい）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
e^iz=cos z+isin z
指数関数と三角関数
実関数としての指数関数 ex, 三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すると
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
略
これらの冪級数の収束半径が ∞ であることは、ダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 1]。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1026864290
chiebukuro.yahoo
nis********さん
2009/6/3 14:43
1回答
e^xの収束半径は無限大らしいのですが、どのように証明すればよいですか??
わかる方解説お願いしますm(__)

ベストアンサー
このベストアンサーは投票で選ばれました
pgs********さん
2009/6/3 15:45
べき級数Σ〔ｎ=０→∞〕（Ｃｎ）ｘ＾ｎとすれば、収束半径ｒは
ｒ=1/ρ
（ただし、ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜Ｃｎ+1/Ｃｎ｜）
で与えられます。
この問題では、Ｃｎ=1/ｎ！、Ｃｎ+1=1/（ｎ+1）！ですから、
ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜（1/（ｎ+1）！）/（1/ｎ！）｜
=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕1/（ｎ+1）=0
したがって、ｒ=∞です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
階乗
n の階乗（かいじょう、英: factorial）n?!
階乗の増大度
「スターリングの近似」も参照
n が増えるにつれて、階乗 n?! は n を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する（ただし、二重指数関数よりは遅い）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/299

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