ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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216: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 10:54:31.31 ID:XfMj3WNk

>>215 つづき

＜層について＞
・数学の層も、漢字一文字原則で、誤訳に近くなった例と思う
・層は、下記 英sheafでは 麦類の穂束であって、層の茎とか芽 (germ) と整合するけれども、
　層→sheafの変換を頭の中でしないと、ワケワカでしょう
・本来は、下記 秋月(康夫)氏が書いているように、「(仏語)Faisceau の元来の意味は束 (タバ) 」なので、”束 (タバ) ”が一つの候補
　しかし、すでに束は、束論で使われているので、漢字一文字原則を優先して、層にしたのでしょう
・いま思うと、漢字二～三文字で、別の分かり易い用語にすべきだったと思う（例えば関数の束で、”関数束”とか”関束”とかｗ）
・なお、下記[注 2]斎藤毅氏の説明のように、層は関数を一点に潰さずに、位相空間の開集合ベースで局所→大域を扱う概念
　それを、(仏語)Faisceau 英sheaf 麦類の穂束 という用語にこめた ジャン・ルレイ氏（岡先生の不定域イデアル類似）
・層コホモロジー（下記）まで行かないと、ありがたみが分からないらしい。勉強する人は、そこまで頑張りましょう！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
数学における層（そう、英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。
層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。
例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。 さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである[注 2],。
より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、presheaf）とよばれる[注 3]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/216

217: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 10:54:54.85 ID:XfMj3WNk

>>216
つづき

層の茎
詳細は「茎 (層)」を参照
層
Ｆの茎 (stalk) Fx は、点 x ∈ X の「まわり」の層の性質を捕らえる。ここに、「まわり」の意味は、概念的に言うと、その点のいくらでも小さい近傍を見るということであるが、もちろん、単独の近傍では十分小さくないので、ある種の極限をとらなければならない。
自然な射 F(U) → Fx は F(U) の切断 s をその芽 (germ) へ写す。

歴史
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレイによる偏微分方程式の研究だと言われている。その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。
なお、アンリ・カルタンをはじめとするフランスの数学者達の層の解明は、岡潔が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている。岡の複素関数論のイデアの不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが連接層の内容とされる。
さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン＝ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。アレクサンドル・グロタンディークによりこの考えが推し進められ、スキーム上有意義な「層」を表現しうるトポスの概念が得られた。ほかに層が決定的に用いられる理論として佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析（D-加群の理論）があげられる。

脚注
1.^ 英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する (sheaf - Wiktionary)。
2.^ P191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日 ISBN 978-4-13-063904-0
3.^ 層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというのが一つの根拠である。
　Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。
　ところで、これを横に見ると地層のような層になる。
　そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。
　この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。(秋月 1970, p. 176)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/217

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