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ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/
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202: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 06:08:08.58 ID:wVajbkib >>201 >a)環(ring)について、説明せよ！ 定義は以下の通り 環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、 加法 +: R × R → R および 乗法 ?: R × R → R の組 (R,+,?) で、 「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う （環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。 加法群 (R, +) はアーベル群である 1. 加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。 2. 加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 3. 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。 4. 加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。 5. 加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。 乗法半群 (R,?) はモノイド（あるいは半群）である 1. 乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ? b ∈ R が成り立つ[注 2]。 2. 乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ? b)? c = a ?(b ? c) が成立する。 3. 乗法に関する単位元を持つ[注 1]。 分配律 乗法は加法の上に分配的である 1. 左分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ?(b + c) = (a ? b) + (a ? c) が成り立つ。 2. 右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)? c = (a ? c) + (b ? c) が成り立つ。 が成り立つものをいう。 乗法演算の記号 ? は普通省略されて、a ? b は、ab と書かれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/202
203: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 06:24:03.54 ID:wVajbkib >>202 >b)層(sheaf)について、説明せよ！ 定義は以下の通り 前層の定義 組 (X,T)を X が集合、T が X の開集合系である位相空間とする。 X 上の（集合の）前層 F とは、次の条件を満たす X の開集合から集合への対応規則である。 ・X の開集合 U∈T に対して集合 F(U) が定まる。 開集合の包含関係 U⊂V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像 ρUV： F(V)→F(U) が定まり、さらに次の条件を満たす。 1. ρUU=id U（ここで、id U:F(U)→F(U)は恒等写像である）。 2. U⊂V⊂W⇒ρUW=ρUV・ρVW(・は写像の結合)。 各開集合 U に対して F(U) の元を前層 F の U 上の切断（せつだん、section）あるいは断面（だんめん）と呼ぶ。 層の定義 位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき層と呼ばれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/203
211: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 09:42:17.80 ID:XfMj3WNk >>202 分かってないねｗ ・環の定義では、可換と非可換の区別が定義されていないぞｗ （後で、加法群の説明あるけど、順序が逆だよｗ） ・>>198-199 雪江明彦の "2. 「可除環」か「斜体」か" について言えば そもそも、群、環、体と並べたとき 乗法については、一般的に非可換で貫徹するのが綺麗で 抽象代数学の初期は、これだった （”永田の可換体論では体，可換体という用語”>>199） しかし、用語 体 は、殆どの場合(教科書や論文で)、可換体しか扱わないんだ だから、簡単に可換体→体と書いて、非可換は別の用語にという流れになった（これは よくある話） ・圏 category >>206について言えば、categoryの歴史は古代ギリシャのアリストテレス辺りまで遡る（下記） 多分、数学の”category”という用語は、下記”カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した”あたりを意識していたのかもしれない が、本音はキャッチーなだじゃれだったかも 圏論書いた人は、関西人では？ｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96 圏論 category theory 歴史 1945年の「General Theory of Natural Equivalences[3]」において圏（あるいは関手、自然変換）をその名前で定義した[4]。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA カテゴリ カテゴリ（独: Kategorie、英: Category、仏: Categorie）は、事柄の性質を区分する上でのもっとも基本的な分類のことである。カテゴリーとも表記する。語源はギリシア語の κατηγορια。漢訳語では範疇（はんちゅう）であり、洪範九疇に由来する[1]。 概説 アリストテレスによって哲学用語として採用された。アリストテレスにおいてカテゴリは存在のもつ10の基本的性質をあらわし、存在論における基本概念のひとつであったが、イマヌエル・カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した。 哲学用語としての「基本範疇」の意味から発展して、各種分類学などでもカテゴリの用語が用いられることがある (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/211
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