ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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166: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/04(土) 00:07:00.57 ID:FXdrMrMW

>>165 関連
>Instanton
> 4d supersymmetric gauge theories

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
サイモン・ドナルドソン
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F
ドナルドソン不変量
ドナルドソン理論 (Donaldson theory) は、インスタントン（英語版）を用いた滑らかな4次元多様体の研究である。この理論は、コンパクト単連結4次元多様体の2次コホモロジー群上の可能な二次形式を制限してドナルドソンの定理を証明したサイモン・ドナルドソン (1983) により始められた。
ドナルドソン理論の結果の多くは微分構造を持つ多様体に依存し、4次元位相多様体に対しては正しくない。
ドナルドソン理論の定理の多くは今ではサイバーグ・ウィッテン理論（英語版）を用いると容易に証明できる。
関連項目
クロンハイマー・ムロフカ基本類（英語版）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%AD%E3%82%BE%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF_R4
エキゾチック R^4
エキゾチック R^4 とは、4次元ユークリッド空間 R^4 に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。
エキゾチック R^4 である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。[1][2]クリフォード・タウベスにより、R^4の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。[3]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/166

200: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 00:17:40.68 ID:XfMj3WNk

>>166 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%AD%E3%82%BE%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF_R4
エキゾチック R^4
球面上の非微分同形の滑らかな構造(エキゾチックな球体) が存在することが既に知られていたが、 4-球体 の特定のケースに対するそのような構造の存在の問題は未解決のままであった (2022 年現在も未解決のままである)。

関連するエキゾチックな構造
Casson ハンドルはフリードマンの定理により
D^2 Ｘ R^2と同相であるが、ドナルドソンの定理から、それらはすべて
D^2 Ｘ R^2と微分同相ではない。言い換えれば、一部の Casson ハンドルはエキゾチック
D^2 Ｘ R^2である。
en.wikipediaより
It is not known (as of 2022) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincare conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.

https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere
Exotic sphere
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
Some candidates proposed for exotic 4-spheres are the Cappell?Shaneson spheres (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) and those derived by Gluck twists (Gluck 1962). Gluck twist spheres are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1. The result is always homeomorphic to S4. Many cases over the years were ruled out as possible counterexamples to the smooth 4 dimensional Poincare conjecture. For example, Cameron Gordon (1976), Jose Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/200

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