[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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63(2): 2023/01/02(月)23:41 ID:qZFMMNjk(1/3) AAS
>>62
>「ガロア群」と言わずに、「代数拡大の自己同形群」といったらだめなの？
レスありがとう
お答えします
１）まず、「ガロア群」は、単なる代数拡大ではまずく、ガロア拡大（下記）に対しての自己同形群でなければならない
２）この説明は、下記のwikipedia ガロア群 にあるので ご参照請う
３）分かり易い例が、代数拡大 Q(√2)/Q は、ガロア拡大で、Gal(Q(√2)/Q)と書けて、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる
省17
64(1): 2023/01/02(月)23:42 ID:qZFMMNjk(2/3) AAS
>>63
つづき
例
下記の例において、 F は一般の体、 C, R, Qはそれぞれ複素数体、実数体 、有理数体とする。また、 F(a) は体 F に元 a を添加した体、即ち F の全ての元と a をふくむ最小の体であるとする。
・Gal(F/F)は恒等写像のみからなる自明な群。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
省7
65: 2023/01/02(月)23:42 ID:qZFMMNjk(3/3) AAS
>>64
つづき
ガロア拡大の特徴づけ
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である：
・E/F は正規拡大かつ分離拡大である。
・E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
・|Aut(E/F)| = [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数と等しい。
省6
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