ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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110: １３２人目の素数さん [] 2023/01/31(火) 15:55:49.87 ID:tkHk7/Du

>>75
>ガロアより以前に置換群論において正規部分群という概念を思いついた
>という人は居ないのだろうか？

ガロアは、Chevallierへの手紙（下記）で
・正規部分群について明記している
（This is called proper decomposition：G = H + H S + H S' + ・・とG = H +TH +T'H +・・とが一致するとき）
・”If each of these groups has a prime number of permutations then the equation will be solvable by radicals; otherwise, not.”と明記している
・The smallest number of permutations that an indecomposable group can have,when this number is not a prime number, is 5・4・3.（＝位数60のA5(交代群)）と明記している

Chevallierへの手紙は、明らかにガロア理論の創始！
（これより以前は、アーベルの方程式論が最前線です）

（参考）
　>>90より
https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100
The Last Mathematical Testament of Galois
Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is
reproduced here in English translation I.

Ｐ１
The second contains rather interesting applications from the theory of equations.Here is a summary of the most important ones:
1. According to the propositions II and III of the first paper, one sees a great difference between adjoining, to an equation, . one of the roots or all the roots of an auxiliary equation.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/110

115: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/31(火) 21:02:38.92 ID:FSzGv1IG

>>93 補足
>>>楕円曲線の等分問題で、
>>p = 11の解法を取り上げている
>>　それ、モジュラー方程式の話
>>　モジュラー方程式、わかってる？
>ありがとう
>笠原乾吉先生
>「モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている」
>これが、1990年

今頃気づいたが
下記ガロア第一論文でも
”The last application of the theory of equations is related to the modular. equation of elliptic functions.”
と使われているね
”related to the modular. equation of elliptic functions.”だね
レムニスケートの等分と類似ないし同じ意味だね

(参考)（>>90より再録）
https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100
The Last Mathematical Testament of Galois
Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is
reproduced here in English translation I.

P3
The last application of the theory of equations is related to the modular. equation of elliptic functions.
We show that the group of the equation which has for roots the sine of the amplitude of p2 - 1 divisions of a period is:

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/115

143: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/02(木) 21:01:06.85 ID:IR67z+yT

>>142
つづき

ヴァッファの質問への答えはイエスであったのですが, 私が衝撃を受けた理由は, 次のものです.

通常は各インスタントン数 n ごとにモジュライ空間 Mn を個別に調べていた. 一つ一つのモジュライ空間 Mn のオイラー数でなく, それらを一度に取り扱った母関数を考えるという発想が新しかった.
その上, 保型性が成り立つことは, モジュライ空間のオイラー数の列を一度に取り扱うことによって初めて見える性質であり, モジュライ空間一つ一つを見ていてるだけでは出てこない性質である. だから保型性を持つというは誰も夢想だにしなかった, 突拍子もないものである.
第一の理由は衝撃的なものではありますが, 当時ドナルドソン不変量の母関数を考えるときれいな構造を持つというクロンハイマー-ムロフカの構造定理が証明されていましたので, その方面の研究者は, そのように考えるのがよいのかもしれないと``もやもや''と感じていました. その意味では, ヴァッファが母関数を考えたことは, 革新的に新しいかと問えばそうでなかったといっていいでしょう. クロンハイマー-ムロフカの構造定理(数学セミナー８月号の亀谷さんの記事に解説があリます)は, 違ったインスタントン数を持つ二つのモジュライ空間の間に関係をつけるような新しい空間(具体的には, ２次元部分多様 体に沿って特異性を持ったインスタントンのモジュライ空間)を導入することで証明されました.

一方, 第二の理由は有限個のモジュライ空間の間の関係として記述できるものではない, という意味で完全に新しいものでしたし, 保型性という数学者にとって親しみのあるものが, 今までまったく関連すると思われていなかった４次元のインスタントンの話題に現れたので驚いたのです. こちらが衝撃を受けた本当の理由です. 特に, 保型性の裏には２次元のトーラスが隠されていることが多いので, ４次元ゲージ理論の新しい広がりを感じさせました.

電子メールへの答えはイエスだったと書きましたが, その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群がアファイン・リー環の表現空間になっているという, ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/143

144: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/02(木) 23:16:03.44 ID:IR67z+yT

>>142
> 1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて

ヴァッファさんは、下記ですね
”アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した”
"2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞"

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A1
カムラン・ヴァッファ
カムラン・バッファ（Cumrun Vafa，1960年8月1日 - ）は、イラン出身の理論物理学者。専門は素粒子論。
マサチューセッツ工科大学（MIT）を卒業。1985年にプリンストン大学でPh.D.を取得。1990年からハーバード大学教授。
主要な業績
・アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した。
・Gopakumarとともに3次元Calabi-Yau多様体とGromov-Witten不変量についての研究。
・Seiberg-Witten prepotentialをCalabi-Yau多様体の Gromov-Witten不変量によって定義した。これはMirror対称性予想にも貢献した。
・ロベルト・ダイクラーフとともにDijkgraaf-Vafa理論を提唱した。
受賞歴
・2008年 - ICTPのディラック賞
・2016年 - ハイネマン賞数理物理学部門
・2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞
著書
「宇宙を解くパズル」大栗博司監訳、水谷淳訳、講談社ブルーバックス 2022年

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%83%96%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%AB%E3%83%BC%E8%B3%9E
基礎物理学ブレイクスルー賞
賞金は300万ドルと、ノーベル賞受賞者に与えられる金額の2倍以上であり[3][4]、2018年9月現在でこの賞は世界で最も収益性の高い学術賞となっている[5]。この賞を「21世紀のノーベル賞」と称するメディアも存在する[6]。

受賞者
2017年
場の量子論、ひも理論、量子重力理論の変革的進歩に対して[11]
ジョセフ・ポルチンスキー カリフォルニア大学サンタバーバラ校
アンドリュー・ストロミンジャー、カムラン・ヴァッファ ハーバード大学

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/144

160: １３２人目の素数さん [] 2023/02/03(金) 17:12:14.46 ID:OOOXQ2PB

>>159
>John K. S. McKay (18 November 1939 – 19 April 2022

ああ、McKay さん、昨年亡くなられていたのか。コロナかも、ご冥福をお祈りいたします
https://en.wikipedia.org/wiki/John_McKay_(mathematician)
John K. S. McKay (18 November 1939 ? 19 April 2022)

>>158
>幾何学版ムーンシャインなのよ
>マッカイもビックリ

それもある
それもあるけど、
IMU（国際数学連合）が、物理とか関連分野との関係を相当重視しているってことでしょ？

中島啓総裁は、その一例で、
モンストラス・ムーンシャインも弦理論や頂点作用素代数などを用いて証明された
なので、ボーチャーズ氏は、フィールズ賞
ミルザハニさん、下記エドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞

ここらの視点は重要です
モジュライ空間：物理と隣接しているってこと

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3
モンストラス・ムーンシャイン
1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%B6%E3%83%8F%E3%83%8B
マリアム・ミルザハニ 1977年5月12日[1] - 2017年7月15日[8][2]
業績
ミルザハニはリーマン面のモジュライ空間の理論についていくつかの業績を上げている。
彼女は、モジュライ空間におけるトートロジー集合の交差数に関するエドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、またコンパクトな双曲面における単純な閉測地線の長さに関する漸近線の公式を導き出した。
2014年にミルザハニは「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞した[27]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/160

197: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/04(土) 21:31:10.72 ID:FXdrMrMW

>>193
アホか？ｗ

１）下記 保型形式 歴史と
　雪江明彦氏”用語は難しい”を読め！！ｗ
２）シッタカするならば、問う
　a)環(ring)について、説明せよ！
　b)層(sheaf)について、説明せよ！
　c)圏(category)について、説明せよ！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
保型形式
歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。 ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版） は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/197

233: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/05(日) 16:28:40.77 ID:XfMj3WNk

>>197 追加
保形形式：automorphic form

形式：form は、良いでしょう
（例 cusp form 数論では、カスプ形式(cusp form)、もしくは尖点形式とは、フーリエ級数展開の定数項が 0 である特別なモジュラー形式のことを言う。
　https://ejje.weblio.jp/content/cusp+form ）

automorphic：ja.wikipedia 保型因子より、群 G が複素解析多様体 X に作用しているとき
”群 G の作用に関して
f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
なる関係を満たすことを言う。ただし、jg(x) は至る所零でない正則函数とする。”

automorphicとは、辞書では「自形」
（接頭辞 auto- は、「自身」を意味する）
f(x)という関数形が、右辺に残る意味（保形ね）

(参考)
https://ejje.weblio.jp/content/automorphic
automorphic
日英・英日専門用語辞書での「automorphic」の意味
automorphic
自形の，自形

http://gogengo.me/roots/537
接頭辞 auto- 　Gogengo! - 英単語は語源でたのしく
「自身」を意味します。
ギリシャ語 autos が由来です。

Wiktionary英語版での「automorphic」の意味
automorphic
形容詞
automorphic (not comparable)
3.(mathematics) Of or pertaining to automorphy or an automorphism

「automorphic」の意味に関連した用語
1 保形函数 (英和専門語辞典) automorphic function
2 保形形式 (英和専門語辞典) automorphic form
4 保形関数 (英和専門語辞典) automorphic function
7 自形の (日英・英日専門用語) euhedral，automorphic，idiomorphic
10 モジュラー形式の保型因子 (英和対訳) Automorphic factor

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/233

265: １３２人目の素数さん [] 2023/02/07(火) 11:36:46.19 ID:Gna27mNy

>>258
>深谷圏が成功したか否かは
>深谷が解こうとした問題の成否で決まる
>だからまったく違わんよ

アホ（あんた）と、バカ（おれ）とのシッタカ合戦かい？ｗ
・深谷圏は、成功したよ（下記）
・深谷先生が、どうやって思いついたか知らないが
・下記でもどうぞ（おれも今から読むｗ）

https://www.youtube.com/watch?v=KRqn67z2ptg
【10分で】深谷圏とホモロジカルミラー対称性【 from ロマンティック数学ナイトプライム@圏論 】 #VRアカデミア #ロマ数プライム圏論 #032
AIcia Solid Projec
2019/06/17

しみずハルオ
1 年前
素粒子論の最先端に使われる数学を紹介している動画は超珍しい。貴重品だね。
カラビ・ヤウ多様体の話も期待しています。

https://scrapbox.io/category/%E6%B7%B1%E8%B0%B7%E5%9C%8F
深谷圏 - 結城浩の圏論勉強プロジェクト - Scrapbox
深谷圏、完全に理解した（冗談です） 【10分で】深谷圏とホモロジカルミラー対称性【 from ロマンティック数学ナイトプライム@圏論 】 #VRアカデミア #ロマ数プライム

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/
第63回トポロジーシンポジウム 2016年
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/100-Ohta.pdf
深谷圏とミラー対称性予想 2016年
太田 啓史　（名古屋大学多元数理科学研究科）
P11
条件 (4.1) をみたす深谷圏 L は、シンプレクティック多様体 X の量子
コホモロジーの情報をすべてもっているということになる。従って、次が基本問題と
なる。
Problem 4.4. シンプレクティック多様体 X が与えられたとき、条件 (4.1) をみた
す深谷圏 L を見つけよ。
次節では X が射影的なトーリック多様体の場合にその例をあげる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/265

332: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/11(土) 16:14:32.66 ID:cDdl8Z4s

>>321 追加
Lie群 SO(n, F) 下記Hは4元数
https://research.kek.jp/people/hkodama/Math/LieGroup.pdf
Lie群とLie代数 小玉 英雄
LastUpdate: 2007.5.20
目次
古典群 42
4.1 古典群の定義 ............................... 43
4.1.3 O(n, F), SO(n, F), O(p, q; F), SO(p, q; F), SO?(2n) ....... 45
F = R, C, H に対して，Ip,q を (p, q) 型の単位対角行列として，(p, q) 型直交群を
O(p, q; F) = {X ∈ GL(p + q, F)| X?T Ip,qX = Ip,q}, (4.35a)
SO(p, q; F) = O(p, q; F) ∩ SL(p + q, F), (4.35b)
O(n, F) = O(n, 0; F), SO(n, F) = SO(n, 0; F) (4.35c)
により定義する．ただし，x = x0 + ix1 + jx2 + kx3 ∈ H に対して，x? = x0 + ix1 ?jx2 + kx3 である．
特に，F = C に対して，
O(p, q; C) = O(p + q, C), SO(p, q; C) = SO(p + q, C) (4.36)
で，SO(n, C)(n ? 3, ≠4) は単純かつ半単純な複素 Lie 群である．また，F = H に対しては，
O(p, q; H) = SO(p, q; H) = SO(p + q, H) (4.37)
となる（SL の定義の特殊性により）．
一方，F = R に対しては，
O(p, q; R) = O(p, q), SO(p, q; R) = SO(p, q), O(n, R) = O(n), SO(n, R) = SO(n)
(4.38)
と表記する．SO(p, q)(p + q > 2) は半単純な実 Lie 群である．また，SO(n) はコンパクトとなる．
https://researchmap.jp/read0012494
小玉 英雄 京都大学 基礎物理学研究所 教授
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~hideo.kodama/profile.html
Kodama, Hideo (小玉　英雄)
2007/4/1 - 2016/3/31
Full professor of the Institute of Particles and Nuclear Study, the High Energy Accelerator Research Organization (KEK) (高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所教授)
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~hideo.kodama/library.html

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/332

349: １３２人目の素数さん [] 2023/02/11(土) 23:40:45.59 ID:cDdl8Z4s

>>345
>”二重共鳴理論  dual resonance theory

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine
In mathematics, monstrous moonshine, or moonshine theory, is the unexpected connection between the monster group M and modular functions, in particular, the j function. The term was coined by John Conway and Simon P. Norton in 1979.[1][2][3]
The monstrous moonshine is now known to be underlain by a vertex operator algebra called the moonshine module (or monster vertex algebra) constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman in 1988, which has the monster group as its group of symmetries. This vertex operator algebra is commonly interpreted as a structure underlying a two-dimensional conformal field theory, allowing physics to form a bridge between two mathematical areas.

これに関連して
"vertex" dual resonance theory Kac Moody algebra
で検索すると、Frenkel 1985 があり、上記1988より早い
”Representations of Kac-Moody Algebras and Dual Resonance Models”がヒット
”j(q) = θL(q)/η(q)^24 =q^-1 + 24 + 196884q +・・ (4.21)”（下記）に言及しているね
ここらが発端だろう

https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/campuspress.yale.edu/dist/2/3739/files/2021/06/frenkel_representations_kac_moody.pdf
Volume 21, 1985 American Mathematical Society
Representations of Kac-Moody Algebras and Dual Resonance Models
I. B. Frenkel

Introduction. The theories of Kac-Moody algebras and dual resonance
models were born at approximately the same time (1968). The second
theory underwent enormous development until 1974 (see reviews [25, 26])
followed by years of decliae, while the first theory moved slowly until the
work of Kac [14] in 1974 followed by accelerated progress.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/349

354: １３２人目の素数さん [] 2023/02/12(日) 09:50:37.91 ID:t5GdbcIg

>>349 関連
>"vertex" dual resonance theory Kac Moody algebra

Kac?Moody Lie algebra（下記）
”E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa,(1983)
The vertex operator constructions were, quite unexpectedly, applied to the theory of soliton equations. This was based on the observation (see [DaJiKaMi])
The vertex operators were introduced in string theory around 1969, but the vertex operator construction entered string theory only at its revival in the mid 1980s. Thus, the representation theory of affine algebras became an important ingredient of string theory (see [GrScWi]).(1987)
The vertex operators turned out to be useful even in the theory of finite simple groups. Namely, a twist of the homogeneous vertex operator construction based on the Leech lattice produced the 196883-dimensional Griess algebra and its automorphism group, the famous finite simple Monster group (see Sporadic simple group) [FrLeMe].(1989)”
そうなんだ。Kac?Moody Lie algebraだったね

(参考)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Kac-Moody_algebra
15 November 2017
Kac-Moody algebra
A Kac-Moody algebra (also Kac?Moody Lie algebra) is defined as follows:
Let A=(aij)ni,j=1  be an (n×n)
-matrix satisfying conditions (see Cartan matrix)
aii=2;aij?0 aij=0 and aij∈Z for i≠j,⇒ aji=0.}(a1)
The associated Kac?Moody algebra g(A) is a Lie algebra over C on 3ngenerators ei, fi, hi
(called the Chevalley generators) and the following defining relations:
略

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/354

359: １３２人目の素数さん [] 2023/02/12(日) 11:58:00.76 ID:t5GdbcIg

Vertex operatorの"vertex" の由来を調べていた
はっきりしなかったが
Regge theory(1960年代)→"Triple Pomeron Vertex"(Ramamurti Rajaraman)(1970年代)→string theory(1970年代)
という流れで、だれかが、"Vertex operator（algebra）"を命名したようだ
"vertex" の元々の意味も判然としないが、レッジェ・ポールあるいはレッジェ極（特異点）と関連しているのだろう
取りあえず、調べたところまで貼る

(参考)
https://handwiki.org/wiki/Physics:History_of_string_theory
Physics:History of string theory
Contents
1 1943?1959: S-matrix theory
2 1959?1968: Regge theory and bootstrap models
3 1968?1974: Dual resonance model
4 1974?1984: Bosonic string theory and superstring theory
5 1984?1994: First superstring revolution
6 1994?2003: Second superstring revolution
7 2003?present

https://en.wikipedia.org/wiki/Regge_theory
Regge theory
In quantum physics, Regge theory (/?r?d?e?/) is the study of the analytic properties of scattering as a function of angular momentum, where the angular momentum is not restricted to be an integer multiple of ? but is allowed to take any complex value. The nonrelativistic theory was developed by Tullio Regge in 1959.[1]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/359

366: １３２人目の素数さん [] 2023/02/12(日) 20:27:46.24 ID:t5GdbcIg

>>365 補足
>"vertex"→”頂点”が誤訳かも
>ラテン語では、頂点以外に、渦(うず)や（地理学）極、交点という意味があるらしい。こちらの意味が、ふさわしそうだ

下記のPhysicsの3例を見ると、”交点”が適当かもしれない
特に、”PV (physics) Primary Vertex (i.e. the interaction point)”とあるし

https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex
Vertex
Science and technology
Physics
・Vertex (physics), the reconstructed location of an individual particle collision
・Vertex (optics), a point where the optical axis crosses an optical surface
・Vertex function, describing the interaction between a photon and an electron

https://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_point
Interaction point
(Redirected from Vertex (physics))
In particle physics, an interaction point (IP) is the place where particles collide in an accelerator experiment. The nominal interaction point is the design position, which may differ from the real or physics interaction point, where the particles actually collide. A related, but distinct, concept is the primary vertex: the reconstructed location of an individual particle collision.

https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/CMSPublic/WorkBookGlossary
TWiki> CMSPublic Web>SWGuide>WorkBook>WorkBookGlossary (2022-12-16, TamasAlmosVami)
Glossary and Index
PV
(physics) Primary Vertex (i.e. the interaction point)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/366

371: １３２人目の素数さん [] 2023/02/13(月) 07:52:16.49 ID:4U3ZM/VM

>>368 関連

これいい
http://pantodon.jp/index.rb?body=about
このウェブサイトは, 玉木 大が管理しています。 管理人についての公式の情報は, 以下の信州大学のページにあります:
http://pantodon.jp/index.rb?body=VA_and_VOA#cite.0@Borcherds1986
Algebraic Topology
Vertex Algebra と Vertex Operator Algebra

Vertex operator algebra の一つの起源は数理物理であり, 初期の段階では, 定義がはっきりしなかった。Vertex algebra の正確な定義を与えたのは, Borcherds [Bor86], vertex operator algebra の定義を与えたのは, Igor Frenkel と Lepowsky と Meurman らしい。

Igor Frenkel と Lepowsky と Meurman の本 [FLM88] は, Introduction 以外の部分は, お世辞にも読み易いものではない。その後, vertex operator algebra は様々な面から研究が進み, かなり理解し易くなった。 より新しい文献で勉強する方がよい。まずは, Kac の booklet [Kac98] を読むのがよい, と思う。そして Edward Frenkel と Ben-Zvi の本 [FB01] を読めばよい。最初に Edward Frenkel の Bourbaki seminar での解説 [Fre02] を読んで概要をつかんでおくのもよい。 2人の Frenkel がかかわっているので, ややこしい。

Algebraic topologist の書いたものとしては, Andrew Baker の解説 [Bak98] がある。Frenkel-Lepowsky-Meurman 流の書き方であるが。 Operad あるは cooperad を用いた記述もあり, 代数的トポロジーの人間にはそちらの方が分りやすいかもしれない。例えば, Hortsch と Kriz と Pultr の [HKP10] は cooperad を用いた純粋に代数的なものである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/371

389: １３２人目の素数さん [] 2023/02/13(月) 15:46:49.46 ID:xsCTjZGt

>>376
>https://mathoverflow.net/questions/53988/what-is-the-motivation-for-a-vertex-algebra
>What is the motivation for a vertex algebra?

追加引用 (回答のDavid Ben-Zvi氏は、Edward Frenkel氏からみの大物だね（後述）)
8 Answers
75 answered Feb 1, 2011 David Ben-Zvi
Vertex algebras precisely model the structure of "holomorphic one-dimensional algebra" -- in other words, the algebraic structure that you get if you try to formalize the idea of operators (elements of your algebra) living at points of a Riemann surface, and get multiplied when you collide.

Our geometric understanding of how to formalize this idea has I think improved dramatically over the years with crucial steps being given by the point of view of "factorization algebras" by Beilinson and Drinfeld, which is explained (among other places :-) ) in the last chapter of my book with Edward Frenkel, "Vertex algebras and algebraic curves" (second edition only). This formalism gives a great way to understand the algebraic structure of local operators in general quantum field theories -- as is seen in the recent work of Kevin Costello -- or in topological field theory, where it appears eg in the work of Jacob Lurie (in particular the notion of "topological chiral homology").

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/389

400: １３２人目の素数さん [] 2023/02/13(月) 18:52:46.24 ID:xsCTjZGt

>>392-393
>理解出来ない数学への憎悪の強さ

自分の内心を、外部に投影されても、こちらは迷惑です
”理解出来ない”は、あなた

例えば
　>>389より
>https://mathoverflow.net/questions/53988/what-is-the-motivation-for-a-vertex-algebra
>What is the motivation for a vertex algebra?

追加引用
回答1
You ask what physical problem vertex operators model but you actually give the answer yourself! :-) They can be used to answer questions about "two particles colliding in an infinite vacuum". A pair of strings coming from infinity, interacting "once", and going off to infinity, say, sweep out a surface that is topologically a sphere with 4 tubes sticking out out of it. String theory is (sort of) conformally invariant and this surface is conformally a Riemann sphere with 4 punctures in it. Vertex operators arise when studying quantum fields on Riemann spheres in the vicinity of these punctures. ?
Dan Piponi
Feb 1, 2011 at 19:13
(引用終り)

これ、”topologically a sphere with 4 tubes sticking out out of it.”は、下記のファインマンダイアグラムですね
英の.png図を、ご参照
おっと、”頂点(vertex): 線の分岐点”とありますね・・ｗ
ファインマンダイアグラムが起源か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
ファインマンダイアグラムは、場の量子論において摂動展開の各項を図に示したものである。それぞれのダイアグラムは素粒子をはじめとする実際の粒子の反応過程を表現している。

ノーベル物理学賞受賞者で量子電磁力学の創始者の一人であるリチャード・P・ファインマンによって提唱されたファインマンルールに基づいて計算することによって素粒子の振る舞いを記述できる。

構成
頂点(バーテックス、vertices)：相互作用を表す。ラグランジアンにおける相互作用項の係数は一般に、相互作用を特徴付ける結合定数であり、頂点ではこの結合定数に比例する項が割り当てられる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/400

465: １３２人目の素数さん [] 2023/02/15(水) 18:19:40.71 ID:ix8IQFwl

>>426 追加
>それと、String Feynman 図 ←→ Vertex の関係

さらに用語vertex発掘した
どうも、下記の
”F. J. Dyson, Phys. Rev. 75, 486
The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger,and Feynman”
が、調べた範囲の起源みたい
これより古いFeynmanの文献も当たったけど、Vertexという用語は見当たらなかった

そして
P19
Through each point of a graph pass two electron lines, and therefore
the electron lines together form one open polygon containing the vertices
xk and xrk and possibly a number of closed polygons as well.
とか
P29
It will be found that in each graph there are at each vertex two electron lines and one photon line, with the exception of x0 at which there are two electron lines only; further, such graphs can exist only for even n.
が、Vertexの説明になっています

ここらで、一旦打ち止め
Dysonが、用語Vertexを使い始めた？ が暫定結論です
なお、この場合だと、Vertex ＝交点 ってイメージですね
いまさら、定着している”頂点”を、変えるには大変でしょうけどｗ

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram
Feynman_diagram
より
References
3. Feynman, Richard (1949). "The Theory of Positrons". Physical Review. 76 (6): 749?759. Bibcode:1949PhRv...76..749F. doi:10.1103/PhysRev.76.749. S2CID 120117564. In this solution, the 'negative energy states' appear in a form which may be pictured (as by Stuckelberg) in space-time as waves traveling away from the external potential backwards in time. Experimentally, such a wave corresponds to a positron approaching the potential and annihilating the electron.
https://authors.library.caltech.edu/3520/
https://authors.library.caltech.edu/3520/1/FEYpr49b.pdf
P2
注2)The equivalence of the entire procedure (including photoninteractions) with the work of Schwinger and Tomonaga has beendemonstrated by F. J. Dyson, Phys. Rev. 75, 486 (1949).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/465

470: １３２人目の素数さん [] 2023/02/15(水) 22:58:57.58 ID:IikyRbGC

>>465 落ち穂拾い

発掘ではないが
20世紀後半の常識（下記）を
参考に下記貼る

なお、昔何かで読んだが（多分京大の物理の先生）
1965年の 繰り込みのノーベル物理学賞 朝永、シュウィンガー、ファインマンの3人だが
彼の意見は、ダイソンがシュウィンガーに替わって入るべきではと書いていた
つまり、シュウィンガーの仕事は朝永で包含されるので外せる
ファインマンは、経路積分とファインマンダイアグラムで独創性がある
ダイソンは、ファインマンの手法を含めて繰り込みを数学的に完成させた
こんな話だった

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%82%A4%E3%82%BD%E3%83%B3
フリーマン・ジョン・ダイソン（Freeman John Dyson、1923年12月15日 - 2020年2月28日）
数学に関わる分野でもいくつかの注目すべき仕事がある。ランダム行列の研究が最も重要だが、これは後にリーマン予想の研究を活発化させる契機にもなった。
アメリカでの物理学の研究
1947年に数学からは離れて物理学に興味を持ち、アメリカのコーネル大学物理学科へ留学。同大では師のハンス・ベーテからラムシフトの変形の理論問題を任され、直感的な計算で紙片に書き綴り、同僚らは「僕らも、それに気づいていたらなぁ」とダイソンを羨む。
1948年、旅行で一人バスに揺られている間、過程は違えどジュリアン・シュウィンガーとリチャード・ファインマンが同じ答えを導きだそうとしている事に気づく。何でも方程式にしたい性質のダイソンはファインマン・ダイアグラムを数式化して他の物理学者にも分かりやすいように組み立てる。数式を用いず図形で手短に且つかなり正確な答えが導き出されるファインマン・ダイアグラムを広めるべく尽力、あまり良い顔をしなかったロバート・オッペンハイマーを口説いてファインマン・ダイアグラムの有用さを認めさせた。後「朝永＝シュウィンガー＝そしてファインマンの放射理論」論文発表。
何度もノーベル賞有力候補として名が挙がるも受賞には至らなかった。本人はあまり頓着しておらず、賞レースには消極的で無関心な事を明かしている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/470

649: １３２人目の素数さん [] 2023/02/19(日) 20:18:46.40 ID:ynjTT/Eh

>>635
>外積代数はそれ自体でも面白いのですが，微分形式もしくは外微分形式と呼ばれる強力なツールを勉強するための土台になります．（微分形式は，物理や工学などに幅広く応用できる強力な理論です．外積代数だけでは，少し数学的すぎて無味乾燥に感じるかも知れません．）どうしても微分形式を早く勉強したい人は，外積代数カテゴリーの後半の記事は飛ばして先に行っても大丈夫ですが，最低 ホッジ作用素 の記事の内容は押さえておいた方が良いと思います．

まあ下記ですな
「数学がぁ～」「数学科以外は粗雑ぅ～」と吠えてもね
下記は、”物理のかぎしっぽ”！ｗｗ

http://hooktail.sub.jp/index.html
物理のかぎしっぽ
http://hooktail.org/misc/index.php?%C8%F9%CA%AC%B7%C1%BC%B0
微分形式

外積代数 †
外積代数（Joh著）
ウェッジ積について補足（Joh著）
p-ベクトルの内積（Joh著）
ウェッジ積の座標変換（Joh著）
ホッジ作用素（Joh著）
軸ベクトルと擬スカラーの秘密（Joh著）
イデアルによる類別（Joh著）
イデアルで外積代数を入れる１（Joh著）
イデアルで外積代数を入れる２（Joh著）
イデアルで外積代数を入れる３（Joh著）
ホッジ作用素を使った公式補足 （Joh著）

ユークリッド空間とミンコフスキー空間上の微分形式 †
微分形式（Joh著）
面積素と微分形式（Joh著）
線素と体積素と微分形式（Joh著）
微小量の積（Joh著）
外微分（Joh著）
微分形式の熱力学への応用（Joh著）
もう一度grad, div, rot（Joh著）
ポアンカレの補題（Joh著）
外微分の座標不変性（Joh著）
微分形式の張る空間と座標変換（Joh著）
平面のグリーンの定理再考（Joh著）
ガウスの発散定理再考（Joh著）
ストークスの定理再考（Joh著）
微分形式の引き戻し１（Joh著）
微分形式の引き戻し２（Joh著）
微分形式の積分と向き（Joh著）
ストークスの定理再々考（Joh著）
四次元の微分形式（Joh著）
ミンコフスキー空間上の微分形式（Joh著）
マックスウェル方程式への応用（Joh著）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/649

687: １３２人目の素数さん [] 2023/02/22(水) 11:50:34.44 ID:JXBpR2zJ

>>524 関連メモ

https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/55563/1/Kohei_Umeta_abstract.pdf
Author(s) 梅田, 耕平
Citation 北海道大学. 博士(理学) 甲第11363号
Issue Date 2014-03-25
学位論文内容の要旨
(指数型正則関数の層に対する楔の刃の定理とラプラス超関数)
一変数ラプラス超関数の理論は、小松彦三郎氏により確立され常微分方程式及び偏微分
方程式の解法等に応用されている。ラプラス超関数とは無限遠方で高々指数増大する正則
関数の実軸の上下からの境界値の差として表わされる。元来、古典的なラプラス変換は無
限遠方で高々指数増大する関数に対して定義された。1987 年、小松彦三郎氏はラプラス超
関数を導入し、そのラプラス変換を構成する事によりすべての佐藤超関数はラプラス超関
数に拡張可能であることを示した。そのおかげで、我々は超関数の枠組みの中で任意の増
大度を持つ関数に対してもラプラス変換を扱うことが出来るようになった。この理論をさ
らに発展させるには、ラプラス超関数の概念を局所化することでその代数的取り扱いを可
能とすることが望まれる。そこで、まずはじめに筆者は本多尚文氏との共著論文 ” On the
sheaf of Laplace hyperfunctions with holomorphic parameters” の中で無限遠方で指数
型の増大度条件を持つ正則関数に対する擬凸領域上のコホモロジー群の消滅定理を示した。
その結果により、一変数ラプラス超関数のコホモロジー的な定義を与え代数的な取扱いを
可能とした。本論文では、無限遠方で指数型の増大度条件を持つ正則関数の層に対する楔
の刃定理について述べる。この定理は多変数ラプラス超関数の層を構成する上で本質的な
役割を果たす。以下、簡単に説明する。

https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/55565/1/Kohei_Umeta.pdf
Title The edge of the wedge theorem for the sheaf of holomorphic functions of exponential type and Laplace hyperfunctions
Author(s) 梅田, 耕平
Citation 北海道大学. 博士(理学) 甲第11363号
Issue Date 2014-03-25

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/687

702: １３２人目の素数さん [] 2023/02/22(水) 19:25:52.60 ID:JXBpR2zJ

>>700
>猪瀬博司さんたち検索引用間違いだらけだな

ごめん
猪瀬博司さんね。夭逝されたのか！
本「数学にかけし若き命　数学者・猪瀬博司」があるね
あと、彼の数学ノートがヒットしたのでURL貼っておく

https://twitter.com/Auf_Jugendtraum/status/1056381762060771328
ツイート
数学の歩みbot
@Auf_Jugendtraum
君は落ち着いた静かな学生で，君のきわ立った秀才ぶりよりは，君の優しい笑顔の方が，私の思い出の中にある．君の笑顔を思い出すことは，今となっては，散り果てた花の姿を追うような，幽かな幻を心の中に観るような所がある．（志賀浩二 / 猪瀬博司氏を偲んで）
2018年10月28日
https://twilog.org/Auf_Jugendtraum/month-1902
数学の歩みbot@Auf_Jugendtraum 2019年02月
彼の如く豊かな才能に恵まれ，愛され期待された人が癌に犯され若くして逝かねばならぬとは何故であろうか．この決して回答の得られぬ，何故か，をどうしても問わずにはいられない．（飯高茂 / 猪瀬博司氏を偲んで）2月28日
数学の歩みbot@Auf_Jugendtraum
猪瀬君が志して果たし得なかった理論は彼の後の人々によって必ずや発展させられ結局は乗り越えられるでしょう．これは純粋真理探求の学としての数学の必然です．しかし，個性の発露としての猪瀬君の数学の形成，これは誰にもできません．猪瀬君の数学を失った数学界の損失は限りなく大きい．（飯高茂）2月28日
数学の歩みbot@Auf_Jugendtraum
佐野君のゼミも参加者が少なすぎるようだ．授業時間の間にやる時しかでてこないという人が大半だからだ．放課後でもいつでも数学と聞けば飛んでくるような情熱家はいないのだろうか？いったい皆，どういうつもりでこの数学科に入ってきたのだろうか？理解に苦しむ．（猪瀬博司）2月28日

https://ci.nii.ac.jp/ncid/BA55270799 大学図書館所蔵?7件 / 全7件
https://www.meirinkanshoten.com/products/detail/653201
明倫館書店
数学にかけし若き命　数学者・猪瀬博司
研究論文／日記・創作／思い出
【著者名　】猪瀬博司/遺稿集発行有志会編集（飯高茂）
【出版社　】論文集刊行会
【発行年度】昭和54年

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/702

765: １３２人目の素数さん [] 2023/02/25(土) 08:56:24.46 ID:ZowC59iz

>>763 補足
　>>709より 金子晃氏が、有限要素法による偏微分方程式の解法の広義をしている
有限要素法で扱う行列は、いまどきは軽く数万ｘ数万を超えるんじゃない？
（例えば、3Dで各100分割なら100^3＝100万になる）

手計算やったら、何十年でも 終わらんぞ！ｗｗｗ
このクラスになると、エクセルではなく、専用ソフト使うけど

だからさ、数学科で落ちこぼれたアホは、世間を知らない
金子晃氏は、世間を知っている

http://www.kanenko.com/~kanenko/index.html
ようこそ, アレクセイカーネンコ応用数理研究室へ!
Welcome to Alexei KANENKO's Web Site! （金子晃）
http://www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/kougi.html
平成９年度(1997)の開講講義
応用微分方程式論(大学院・前期)　有限要素法の入門講義をしました.
http://www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/Fem/in-fem.html
応用微分方程式論(大学院・前期)(1997)

本講義は微分方程式の実用的側面を毎年テーマを選んで解説するものであり, 本年度のテーマは有限要素法とする.
有限要素法とは，一言でいえば領域を三角形など簡単な形状を持った要素に分割して， 区分一次函数などの初等的な基底を用いた線型代数の計算で，難しい偏微分方程式の 問題をすいすい解いてしまおうというものである.
本講義ではおおむね C. Johnson 著 『Numerical solution of partial differential equations by the finite element method』(Cambridge University Press) に基づき, この理論の基礎的部分を解説する.
だいたい同書の第７章くらいまでを目標とし, 楕円型の境界値問題については ほぼ一通りの知識を得ることを目指す.
これに実際のプログラミングの解説を補って実習もしてもらう予定である.

第１２回(７月９日)：補間誤差と有限要素法の解の誤差評価の話を終え, 巨大行列の解法に入った.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/765

791: １３２人目の素数さん [] 2023/02/25(土) 19:46:00.75 ID:ZowC59iz

>>790
>藤野修氏が [9] で

これか、なるほど
[9] 藤野修, 極小モデル理論の新展開, 数学, 61 (2009),162?186.
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~fujino/Ronsetsu-final.pdf
論 説 極小モデル理論の新展開 藤 野 　 修

1 はじめに
代数多様体の双有理分類論は代数幾何学の中心問題のひとつである. 19 世紀の Riemann による曲
線論, 20 世紀初頭のイタリア学派による曲面論などに始まり, 小平の複素解析曲面の分類論やロシア
の Shafarevich 学派の研究などを経て, 低次元の代数多様体に関してはほぼ満足のいく分類が得られ
ている. 3 次元以上の代数多様体の双有理分類を初めて組織的におこなったのは飯高 [ I1 ] であろう.
70 年代初め, 一般の代数多様体に対して小平次元なる概念を導入し, 双有理分類論への第一歩を踏み
出した. 対数的小平次元の定義, 小平次元に関する飯高加法予想など, 様々な貢献があった ([ I2 ]). こ
れらを総称して飯高計画と呼ぶ. 80 年代に入ると森による森理論 (ここでは極小モデル理論と呼ぶこ
とにする) が双有理分類論の標準理論になる. Hartshorne 予想の解決 [M1] の際にあみ出した手法を
駆使し, 代数多様体の双有理写像の情報を凝縮した錐定理 [M2] を証明したのである. これによって双
有理分類論の進むべき道が明らかになったという画期的な仕事であった ([M5] 参照). その後, 極小モ
デル理論は, 広中の特異点解消定理と川又?Viehweg 消滅定理 (小平の消滅定理の一般化, 定理 28 参
照) を基礎とするコホモロジー論的な一般論と, 森による非常に精密な特異点の分類結果を積み上げ
ていくことになる. 80 年代後半には 3 次元で極小モデルの構成に成功し ([M4]), 森は 90 年に京都で
フィールズ賞を受賞する. 90 年代前半には極小モデル理論関連の予想は 3 次元でほぼすべて満足な形
で解決されてしまった.

次に考えるべき問題としては, 極小モデル理論の高次元化であった. ところが, 森による 3 次元の
結果は特異点の詳細な分類結果 ([M3], [M4]) に大きく依存しており, 3 次元の手法をそのまま高次元
化するのは不可能であった. 大発展の後の停滞期が続いたのである.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/791

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