Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52

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56: １３２人目の素数さん [] 2021/02/20(土) 22:05:28.98 ID:Z8PgJDTw

>>54
>IUTは完了形として、オープンな問題は何か？

例えば
（>>5より）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星裕一郎の論文
(抜粋)
１）Explicit estimates in inter-universal Teichmüller theory (with Shinichi Mochizuki, Ivan Fesenko, Arata Minamide, and Wojciech Porowski) RIMS Preprint 1933 (November 2020): (PDF).
　http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/rims1933.pdf
Abstract.
We also obtain an explicit estimate
concerning “Fermat’s Last Theorem” (FLT) - i.e., to the effect that
FLT holds for prime exponents > 1.615 ・ 10^14 - which is sufficient to
give an alternative proof of the first case of Fermat’s Last Theorem.
(引用終り)

個人的には、”1.615 ・ 10^14”のところで、もっと改良できそうな気もするんだよね
下記のABC予想 wikipediaでは、"指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]"などとある
「指数が 6」は無理としても、”1.615 ・ 10^14”は、もうちょっとなんとかできて、PCの数値計算に乗るくらいになるといいね

https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
脚注
注釈
フェルマーの最終定理
ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは K(ε) に依る）。定理自体は（ABC予想とは独立に）ワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 >= 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表している[27]。

5^ ABC予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。互いに素な自然数 a, b, c が an + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して
c^n< rad a^nb^nc^n)^2
が成り立つ。一般に   rad x^n= rad x=< x であるから、  rad (a^nb^nc^n)^2=< (abc)^2<(c^3)^2=c^6 となる。ゆえに cn < c6, c > 1 より n < 6。n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので定理が証明される (山崎 2010, p. 11)。

出典
27^ a b SHINICHI MOCHIZUKI; IVAN FESENKO, YUICHIRO HOSHI,ARATA MINAMIDE, AND WOJCIECH POROWSKI (2020-11-30). Explicit Estimates in Inter-universal Teichm¨uller Theory (Report). 京都大学数理解析研究所

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/56

67: １３２人目の素数さん [] 2021/02/21(日) 08:29:12.95 ID:HYETa8wd

>>56
>個人的には、”1.615 ・ 10^14”のところで、もっと改良できそうな気もするんだよね
>下記のABC予想 wikipediaでは、"指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]"などとある
>「指数が 6」は無理としても、”1.615 ・ 10^14”は、もうちょっとなんとかできて、PCの数値計算に乗るくらいになるといいね

明示公式の論文は、下記のDupuy氏も出しています
”more transparent, modifiable, and user friendly”（特に” modifiable”）
などとある

ABC予想 wikipedia記事の「コンピューティングによる成果」（数値計算）を見ると、
”1.615 ・ 10^14”は、もうちょっとなんとかできるのでは？
と思ったりします

望月IUTの一歩先へ
いろいろ組み合わせれば、” modifiable”ではないかと（南出先生が、2分を6分にして成功したように）
今後の進展を期待したいですね

（>>6より）
https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf
PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI'S COROLLARY 3.12
TAYLOR DUPUY AND ANTON HILADO Date: April 30, 2020.

Abstract.
In particular, for an elliptic curve in initial theta data we show how to derive uniform Szpiro
(with explicit numerical constants). The inequalities we get will be strictly weaker than
[Moc15b, Theorem 1.10] but the proofs are more transparent, modifiable, and user friendly.
All of these inequalities are derived from an probabilistic version of [Moc15a, Corollary 3.12]
formulated in [DH20b] based on the notion of random measurable sets.

https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想

目次
1 証明の試み
2 定式化
3 得られる結果の例
4 コンピューティングによる成果

コンピューティングによる成果
2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステムのABC@Homeプロジェクトを立ち上げた。たとえ発見された例または反例が ABC予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。

q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。

2012年9月現在、ABC@Homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている[35]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/67

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