Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52

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279: １３２人目の素数さん [] 2021/02/27(土) 08:15:01 ID:f+hU2HEr

>>277
追加
下記
「現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。」
「すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2 を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない[注 4]。」
この「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2 を満たすであろう」も、証明できたら良いね
そうすれば、フェルマーもスッキリ

https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想

定式化
三つ目の定式化は「質」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple (a, b, c) に対して、質 q(a, b, c) を次のように定義する：
q(a,b,c):= log clog( rad (abc)).
このときABC予想は、任意の ε > 0 に対して、abc-triple (a, b, c) であって q(a, b, c) > 1 + ε を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。
現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2 を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない[注 4]。

フェルマーの最終定理
ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは K(ε) に依る）。定理自体は（ABC予想とは独立に）ワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表している[27]。

注釈
注4^ この主張と元のABC予想の主張の間に論理的な強弱関係はない。
注5^ ABC予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。互いに素な自然数 a, b, c が an + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して
c^n<( rad a^n b^n c^n)^2
が成り立つ。一般に   rad x^n= rad x <= x  であるから、 ( rad a^n b^n c^n)^2<= (abc)^2<(c^3)^2=c^6 となる。ゆえに c^n < c^6, c > 1 より n < 6。n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので定理が証明される (山崎 2010, p. 11)。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/279

301: １３２人目の素数さん [] 2021/02/27(土) 12:38:32 ID:f+hU2HEr

>>277
南出論文
楕円曲線 “y2 = x(x-1)(x-λ)”
the Legendre form
“λ-line”
ここらが重要キーワードですね

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Explicit%20estimates%20in%20IUTeich.pdf
Explicit Estimates in Inter-universal Teichmuller Theory. PDF NEW!! (2020-11-30) いわゆる南出論文
P2
Introduction

Theorem.
7We shall regard X as the “λ-line” - i.e.,
we shall regard the standard coordinate on X as the “λ” in the Legendre
form “y2 = x(x-1)(x-λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic
curve -

P34
Corollary 5.2. (Construction of suitable µ6-initial Θ-data) Write X
for the projective line over Q; D ⊆ X for the divisor consisting of the
three points “0”, “1”, and “∞”; (Mell)Q for the moduli stack of elliptic
curves over Q. We shall regard X as the “λ-line” - i.e., we shall regard
the standard coordinate on X as the “λ” in the Legendre form “y2 =x(x - 1)(x - λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic curve -

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/301

302: １３２人目の素数さん [] 2021/02/27(土) 12:51:48 ID:f+hU2HEr

>>301
>the Legendre form
>ここらが重要キーワードですね

参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_form
Legendre form

Contents
1 Definition
2 Numerical evaluation
3 References

The respective complete elliptic integrals are obtained by setting the amplitude, Φ, the upper limit of the integrals, to π/2.

The Legendre form of an elliptic curve is given by
y2 = x(x-1)(x-λ)

Numerical evaluation
The classic method of evaluation is by means of Landen's transformations. Descending Landen transformation decreases the modulus   k k towards zero, while increasing the amplitude Φ. Conversely, ascending transformation increases the modulus towards unity, while decreasing the amplitude. In either limit of k, zero or one, the integral is readily evaluated.

Most modern authors recommend evaluation in terms of the Carlson symmetric forms, for which there exist efficient, robust and relatively simple algorithms. This approach has been adopted by Boost C++ Libraries, GNU Scientific Library and Numerical Recipes.[3]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/302

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