Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52

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325: １３２人目の素数さん [] 2021/02/28(日) 09:31:59.41 ID:c9K39yvS

>>314
コメントありがとう
検索キーワードとして、重要ですね
例えば
Legendre form elliptic curve x(x-1)(x-λ) 検索ヒット 約 97 件 （0.59 秒）
つまり、x(x-1)(x-λ)について、いろんな先行する研究がある。つまり、良い性質があるってことだね

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function
Modular lambda function
The relation to the j-invariant is[6][7]
j(τ )= 256(1-λ (1-λ ))^3/{(λ (1-λ ))^2}= 256(1-λ +λ ^2)^3/{λ ^2(1-λ )^2} .
which is the j-invariant of the elliptic curve of Legendre form  y^2=x(x-1)(x-λ ) y^2=x(x-1)(x-λ )

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/papers.html
金子昌信 論文
17. Supersingular j-invariants, hypergeometric series, and Atkin's orthogonal polynomials (with D. Zagier), AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 7, 97--126, (1998). pdf
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/papers/atkin.pdf
SUPERSINGULAR j-INVARIANTS, HYPERGEOMETRIC
SERIES, AND ATKIN’S ORTHOGONAL POLYNOMIALS
M. Kaneko and D. Zagier
§1. Introduction.
The polynomial describing supersingularity in terms of the λ-invariant of E (defined
by writing E over K¯ in Legendre form y
2 = x(x - 1)(x - λ)) has a well-known and
simple explicit expression, but a convenient expression for the polynomial expressing
the condition of supersingularity directly in terms of the j-invariant (i.e., in terms of
a Weierstrass model over K, without numbering the 2-torsion points over K¯ ) is less
easy to find. In this (partially expository) paper, we will describe several different
ways of constructing canonical polynomials in Q[j] whose reductions modulo p give ssp(j).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/325

332: １３２人目の素数さん [] 2021/02/28(日) 10:33:53.20 ID:c9K39yvS

>>331
補足の補足

（>>5）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Explicit%20estimates%20in%20IUTeich.pdf
Explicit Estimates in Inter-universal Teichmuller Theory. PDF NEW!! (2020-11-30) いわゆる南出論文
p36
First, let us recall that if the once-punctured elliptic curve associated to EF fails to admit an F-core,
(引用終り)

ここ、下記の日本のリーマン面は穴なしだけど、
外国のRiemann surfaceには”Punctured spheres”がある

「なんで”punctured”」と少しは悩んでもいいが、適度なところで、検索するのが良いだろう
　検索範囲は、日本に適当なものがなければ、英語まで広げて検索するのが良いでしょう

（日本語の梅村 楕円関数論は、「穴なし」だったね（教科書として内容を絞るのは、これはこれでで良いと思うが）。
　カタツムリの維新さん、100年経っても「Punctured」に到達できないに、100ペソ！ｗｗ）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2
リーマン面
目次
1 定義
2 例
3 出典

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
Riemann surface
Contents
4 Analytic vs. algebraic
5 Classification of Riemann surfaces
5.1 Elliptic Riemann surfaces
5.2 Parabolic Riemann surfaces
5.3 Hyperbolic Riemann surfaces
6 Maps between Riemann surfaces
6.1 Punctured spheres
6.2 Ramified covering spaces

Analytic vs. algebraic
This feature of Riemann surfaces allows one to study them with either the means of analytic or algebraic geometry.
There is an equation

{\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}{\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}
where the coefficients g2 and g3 depend on τ, thus giving an elliptic curve Eτ in the sense of algebraic geometry. Reversing this is accomplished by the j-invariant j(E), which can be used to determine τ and hence a torus.

Punctured spheres
With three or more punctures, it is hyperbolic - compare pair of pants.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/332

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