[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52 (1002ﾚｽ)
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56(1): 2021/02/20(土)22:05 ID:Z8PgJDTw(21/21) AAS
>>54
>IUTは完了形として、オープンな問題は何か？
例えば
（>>5より）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
星裕一郎の論文
(抜粋)
１）Explicit estimates in inter-universal Teichmüller theory (with Shinichi Mochizuki, Ivan Fesenko, Arata Minamide, and Wojciech Porowski) RIMS Preprint 1933 (November 2020): (PDF).
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Abstract.
We also obtain an explicit estimate
concerning “Fermat’s Last Theorem” (FLT) - i.e., to the effect that
FLT holds for prime exponents > 1.615 ・ 10^14 - which is sufficient to
give an alternative proof of the first case of Fermat’s Last Theorem.
(引用終り)
個人的には、”1.615 ・ 10^14”のところで、もっと改良できそうな気もするんだよね
下記のABC予想 wikipediaでは、"指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]"などとある
「指数が 6」は無理としても、”1.615 ・ 10^14”は、もうちょっとなんとかできて、PCの数値計算に乗るくらいになるといいね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ABC予想
脚注
注釈
フェルマーの最終定理
ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは K(ε) に依る）。定理自体は（ABC予想とは独立に）ワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 >= 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 5]。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表している[27]。
5^ ABC予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。互いに素な自然数 a, b, c が an + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して
c^n< rad a^nb^nc^n)^2
が成り立つ。一般に rad x^n= rad x=< x であるから、 rad (a^nb^nc^n)^2=< (abc)^2<(c^3)^2=c^6 となる。ゆえに cn < c6, c > 1 より n < 6。n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので定理が証明される (山崎 2010, p. 11)。
出典
27^ a b SHINICHI MOCHIZUKI; IVAN FESENKO, YUICHIRO HOSHI,ARATA MINAMIDE, AND WOJCIECH POROWSKI (2020-11-30). Explicit Estimates in Inter-universal Teichm¨uller Theory (Report). 京都大学数理解析研究所
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